Надо Знать

добавить знаний



Странный аттрактор Лоренца



План:


Введение

Две кривые показывают траектории эволюции странного аттрактора Лоренца при очень близких начальных условиях. Конечные точки значительно отличаются.
Странный аттрактор Лоренца при \ Lambda = 28, \ sigma = 10, b = 8/3 .

Странный аттрактор Лоренца - аттрактор демонстрирующий хаотическую поведение и является решением системы трех нелинейных дифференциальных уравнений, впервые записанных [1] в 1963 году Эдвардом Лоренцом при рассмотрении конвекционного движения в однородном слое жидкости, подогреваемой снизу. Уравнения Лоренца также описывают конвекцию в кольцевой трубке [2] и поведение одномодового лазера. Относится к классу так называемых странных аттракторов. Стоит отметить, сроки хаос и странные аттракторы не употреблялись в оригинальной работе Лоренца (они зьвилися в научной литературе несколько позже), зато говорилось о апериодические движения.


1. Уравнения

Начальной системой, что в конечном итоге приводит к аттрактора Лоренца является однородный слой жидкости высотой H и с фиксированной разницей температуры, \ Delta T между верхним и нижним уровнями. Если предположить, что все движения жидкости параллельные плоскости XZ и не происходит изменений в направлении оси Y , То записав уравнения Навье-Стокса, уравнение непрерывности жидкости, уравнения теплопроводности и воспользовавшись приближением Буссинеска, можно получить уравнения движения жидкости в следующей форме:

\ Frac {\ partial} {\ partial t} \ nabla ^ 2 \ psi = \ frac {\ partial \ psi} {\ partial z} \ frac {\ partial \ nabla ^ 2 \ psi} {\ partial x} - \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} \ frac {\ partial \ nabla ^ 2 \ psi} {\ partial z} + \ nu \ nabla ^ 2 (\ nabla ^ 2 \ psi) + g \ alpha \ frac {\ partial T} {\ partial x}

\ Frac {\ partial T} {\ partial t} = \ frac {\ partial T} {\ partial z} \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} - \ frac {\ partial T} {\ partial x } \ frac {\ partial \ psi} {\ partial z} + \ kappa \ nabla ^ 2 T + \ frac {\ Delta T} {H} \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} ~,

где \ Psi - Функция потока жидкости ( v_x = - \ partial_z \ psi , v_z = \ partial_x \ psi , {\ Vec v} = (v_x, v_z) - Поле скоростей), T - Отклонение температуры жидкости от ее критического значения, при котором исчезает конвекция. Параметры g, \ alpha, \ nu и \ Kappa обозначают, соответственно, ускорение свободного падения, коэффициент теплового расширения, кинематической вязкостью жидкости и ее теплопроводность. Как было установлено Релеем, в такой системе могут образовываться конвекционные валы (изотропные в направлении оси OY ), В которых происходит вращение жидкости: теплая жидкость поднимается вверх, а холодная опускается вниз. Конвекционные валы делят плоскость XZ на примерно одинаковые ячейки. Согласно идеям Рэлея [3] и Зальцмана [4], можно разложить поля \ Psi (x, z, t) и T (x, z, t) в ряд Фурье по x и z и ограничиться первыми членами разложения:

\ Frac {a} {\ kappa (1 + a ^ 2)} \ psi (x, z, t) = \ sqrt {2} X \ sin \ left (\ frac {\ pi ax} {H} \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi z} {H} \ right),
\ Frac {\ pi R_a} {\ Delta T R_c} T (x, z, t) = \ sqrt {2} Y \ cos \ left (\ frac {\ pi ax} {H} \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi z} {H} \ right)-Z \ sin \ left (\ frac {2 \ pi z} {H} \ right),

где R_a = g \ alpha H ^ 3 \ Delta T / (\ nu \ kappa) - число Рэлея, R_c = \ pi ^ 4 (1 + a ^ 2) ^ 3 / a ^ 2 , Параметр a задает соотношение вертикального и горизонтального размеров ячеек, образующиеся в результате конквекции, а переменные X, Y и Z зависят только от времени. После перехода к безразмерным времени путем замены t \ to t ~ \ pi ^ 2 (1 + a ^ 2) \ kappa / H ^ 2 получается система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, носящий название уравнений Лоренца:

\ Dot {X} = - \ sigma X + \ sigma Y
\ Dot {Y} = - XZ + \ lambda X - Y
\ Dot {Z} = XY - b Z ,

где точка означает дифференцирование по времени, \ Sigma = \ nu / \ kappa - Стала Прандтля, \ Lambda = R_a / R_c , b = 4 / (1 + a ^ 2) . Динамические переменные X (t) , Y (t) и Z (t) описывают, соответственно, интенсивность конвективного движения, разность температур восходящего и нисходящего потоков жидкости и отклонения вертикального распределения температуры от линейного режима.


2. Стационарные точки

Анализ свойств стационарных точек системы удобно делать изменяя параметр \ Lambda .

  • 0 <\ lambda <1

Стационарная точка (0, 0, 0) соответствует состоянию отсутствия конвекции, при 0 <\ lambda <1 она является устойчивой (стойкий узел), при \ Lambda> 1 становится неустойчивой (седло-узлом).

  • 1 <\ lambda <\ lambda_1

В момент потери устойчивости точки (0, 0, 0) появляются две другие устойчивые стационарные точки, фокусы, (\ Sqrt {b (\ lambda-1)}, \ sqrt {b (\ lambda-1)}, \ lambda-1) и (- \ Sqrt {b (\ lambda-1)}, - \ sqrt {b (\ lambda-1)}, \ lambda-1) . Они соответствуют режиму постоянной конвекции. Фазовые кривые идут до сих стационарных точек по спиралям. Чем больше параметр \ Lambda , Тем больший размах имеют эти спирали при подходе к стационарных точек.

  • \ Lambda_1 <\ lambda <\ lambda_2

Это критическое значение \ Lambda_1 можно установить только численно, в частности для \ Sigma = 10, b = 8/3 оно равно \ Lambda_1 \ simeq 13.926 . При \ Lambda = \ lambda_1 траектория, начав движение из начала координат (0,0,0) снова приходит в него. Таким образом происходит нелокальная бифуркация. При \ Lambda> \ lambda_1 вокруг стационарных точек появляются два неустойчивых предельных цикла. Образуется инвариантная монжина точек, что соответствует хаотическом "блуждание" траекторий, постоянно отталкиваются в предельных циклов. Однако притягательная это множество не является, поэтому говорят о странном репелер.

  • \ Lambda_2 <\ lambda <\ frac {\ sigma (\ sigma + b +3)} {\ sigma-b-1}

Значение \ Lambda_2 (При \ Sigma = 10, b = 8/3 оно равно \ Lambda_2 \ simeq 24.06 ) Сигнализирует о превращении удивительного репелера в странный аттрактор (иногда говорят о т. н. Нестандартный аттрактор Лоренца), который сосуществует с двумя другими аттрактор - устойчивыми фокусами.

  • \ Lambda> \ frac {\ sigma (\ sigma + b +3)} {\ sigma-b-1}

При достижении этого критического значения неустойчивы предельные циклы взимаются в стационарные точки и стационарные точки теряют свою устойчивость. Образуется т. н. стандартный аттрактор Лоренца, становится единственным аттрактор системы.


3. Траектории

Фазовые траектории, начинающиеся в любой точке сначала, казалось бы, привлекаются к одной из стационарных точек, но не могут подойти слишком близко, поскольку стационарная точка неустойчива. В какой-то момент фазовая траектория перепрыгивает в окрестность другой стационарной точки, но там тоже не может задержаться, и снова перепрыгивает к первой стационарной точки. Как следствие, система непрерывно апериодически перепрыгивает от одной точки к другой.

Фазовые траектории чувствительны к малейшей изменения начальных условий. Две бесконечно близкие начальные точки в фазовом пространстве с течением времени расходятся.

Эффект бабочки
Момент времени t = 1 (Увеличить) Момент времени t = 2 (Увеличить) Момент времени t = 3 (Увеличить)
Lorenz caos1-175.png Lorenz caos2-175.png Lorenz caos3-175.png
Рисунки изображают поведение двух траекторий уравнений Лоренцца (при параметрах \ Lambda = 28, σ = 10 и b = 8/3), в начальный момент были отделены друг от друга по переменной X на величину 10 -5. В начальный момент времени создается впечатление, что траектрории совпадают, однако через некоторое время становится очевидным, что синяя и желтая траектории существенно расходятся.
Java анимация аттрактора Лоренца.

В 1983 году Грассбергер и Прокаччия оценили [5] размерность Хаусдорфа странного аттрактора Лоренца и получили величину 2.06 \ pm 0.01 .


При очень больших значениях \ Lambda , \ Lambda \ gg \ sigma (\ sigma + b +3) / (\ sigma-b-1) динамика системы Лоренца описывается обычными граничными циклами. В частности, при \ Lambda = 99.96 , \ Sigma = 10 , b = 8/3 образуется предельный цикл, имеющий вид узлового тора T (3,2) . При уменьшении \ Lambda переход к хаотическому режиму происходит чарез каскад бифуркаций удвоения периода.

Время, фазовые траектории не могут убежать на бесконечность, поскольку при больших X, Y, Z возникают силы, возвращающие фазовые траектории в область малых значений. Если домножить первое уравнение Лоренца на X / \ sigma , Второе - на Y , А третье - на Z , То затем добавить все три уравнения, то результат можно записать как

\ Frac {1} {2} \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {X ^ 2} {\ sigma} + Y ^ 2 + Z ^ 2 \ right) = - \ left (X-\ frac {Y} {2} \ right) ^ 2 - \ frac {3} {4} Y ^ 2-b \ left (Z-\ frac {\ lambda} {2} \ right) ^ 2 + \ frac {b \ lambda ^ 2} {4} \ equiv E (X, Y, Z).
Поверхность задается неравенством E (X, Y, Z) \ ge 0 имеет вид эллипсоида со смещенным центром масс. Не сложно догадаться, что при любом выборе начальных условий, эволюция системы на аттрактор не приведет к выходу за пределы одного из таких эллипсоидов.

Квазипериодических колебаний в системе Лоренца быть не может ни при каких условиях.


4. Программы, которые моделируют поведение системы уравнений Лоренца

Borland C

 # Include   # Include   void  main  (  )  {  double  x  =  3.051522  ,  y  =  1.582542  ,  z  =  15.62388  ,  x1  ,  y1  ,  z1  ;  double  dt  =  0.0001  ;  int  a  =  5  ,  b  =  15  ,  c  =  1  ;  int  gd  =  DETECT  ,  gm  ;  initgraph  (  &  gd  ,  &  gm  ,  "C:  \ \  BORLANDC  \ \  BGI "  )  ;  do  {  x1  =  x  +  a  *  (  -  x  +  y  )  *  dt  ;  y1  =  y  +  (  b  *  x  -  y  -  z  *  x  )  *  dt  ;  z1  =  z  +  (  -  c  *  z  +  x  *  y  )  *  dt  ;  x  =  x1  ;  y  =  y1  ;  z  =  z1  ;  putpixel  (  (  int  )  (  19.3  *  (  y  -  x  *  0.292893  )  +  320  )  ,  (  int  )  (  -  11  *  (  z  +  x  *  0.292893  )  +  392  )  ,  9  )  ;  }  while  (  !  kbhit  (  )  )  ;  closegraph  (  )  ;  } 

Borland Pascal

 Program  Lorenz  ;  Uses  CRT  ,  Graph  ;  Const  x  :  Real  =  3.051522  ;  y  :  Real  =  1.582542  ;  z  :  Real  =  15.62388  ;  dt  =  0.0001  ;  a  =  5  ;  b  =  15  ;  c  =  1  ;  Var  gd  ,  gm  :  Integer  ;  x1  ,  y1  ,  z1  :  Real  ;  Begin  gd  :  =  Detect  ;  InitGraph  (  gd  ,  gm  ,  "C: \ bp \ bgi"  )  ;  While  not  KeyPressed  Do  Begin  x1  :  =  x  +  a  *  (  -  x  +  y  )  *  dt  ;  y1  :  =  y  +  (  b  *  x  -  y  -  z  *  x  )  *  dt  ;  z1  :  =  z  +  (  -  c  *  z  +  x  *  y  )  *  dt  ;  x  :  =  x1  ;  y  :  =  y1  ;  z  :  =  z1  ;  PutPixel  (  Round  (  19.3  *  (  y  -  x  *  0.292893  )  +  320  )  ,  Round  (  -  11  *  (  z  +  x  *  0.292893  )  +  392  )  ,  9  )  ;  End  ;  CloseGraph  ;  ReadKey  ;  End  . 

FORTRAN

 program  LorenzSystem  real  ,  parameter  ::  sigma  =  10  real  ,  parameter  ::  r  =  28  real  ,  parameter  ::  b  =  2.666666  real  ,  parameter  ::  dt  =  .01  integer  ,  parameter  ::  n  =  1000  real  x, y, z open  (  1  ,  file  =  "Result.txt"  ,  form  =  "Formatted"  ,  status  =  'Replace'  ,  action  =  'Write'  )  x  =  10  .; Y  =  10  .; Z  =  10  .  do  i  =  1  , N,  1  x1  =  x  +  sigma  *  (  y  -  x  )  *  dt y1  =  y  +  (  r  *  x  -  x  *  z  -  y  )  *  dt z1  =  z  +  (  x  *  y  -  b  *  z  )  *  dt x  =  x1 y  =  y1 z  =  z1 write  (  1  ,  *  )  x, y, z  enddo  print  *  ,  "Done"  close (1)  end  program  LorenzSystem 

QBASIC / FreeBASIC ("fbc-lang qb")

 DIM  x  ,  y  ,  z  ,  dt  ,  x1  ,  y1  ,  z1  AS  SINGLE  DIM  a  ,  b  ,  c  AS  INTEGER  x  =  3.051522  : Y  =  1.582542  : Z  =  15.62388  : Dt  =  0.0001  a  =  5  : B  =  15  : C  =  1  SCREEN  12  PRINT  "Press Esc to quit"  WHILE  INKEY $  <>  CHR $  (  27  )  x1  =  x  +  a  *  (  -  x  +  y  )  *  dt y1  =  y  +  (  b  *  x  -  y  -  z  *  x  )  *  dt z1  =  z  +  (  -  c  *  z  +  x  *  y  )  *  dt x  =  x1 y  =  y1 z  =  z1  PSET  (  (  19.3  *  (  y  -  x  *  .292893  )  +  300  )  ,  (  -  11  *  (  z  +  x  *  .292893  )  +  360  )  )  ,  9  WEND  END 

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам