Сферическая геометрия

В сфере, сумма углов треугольника не равна 180 ?. Сфера не Евклидово пространство, но локально законы Евклидовой геометрии хорошо апроксимизуються. В маленьком треугольнике на поверхности Земли, сумма углов очень близка к 180. Поверхность сферы может быть представлена ​​через набор двумерных карт. Т.е. это двумерный Многообразие

Сферическая геометрия - раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Это пример неевклидовой геометрии. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.


1. Основные понятия

Через любые две точки на поверхности сферы (кроме диаметрально противоположных) можно провести единственный большой круг - круг, образованное пересечением сферы и плоскости, проходящей через ее центр. Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферические двокутникы. Площадь двокутника определяется формулой S = 2R ^ 2 \ alpha , Где R - Радиус сферы, а \ Alpha - Угол двокутника.

Три больших круга, не пересекаются в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трех признаков равенства, аналогичных признакам равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место еще одна: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведенными к концам этой стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше 2 \ pi . Сумма углов сферического треугольника s = \ alpha + \ beta + \ gamma всегда больше \ Pi и меньше 3 \ pi . Величина s-\ pi = \ varepsilon называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара S = R ^ 2 \ varepsilon .

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия


2. Вариации и обобщения

См.. Геометрия Римана