Тензорное анализ

Тензорное анализ - обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей D (M) , Дифференцируемой M . Рассматриваются также операторы, действующие на общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорная плотность, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры D (M) .

1) ковариантная производная вдоль векторного поля X - линейное отображение \ Nabla_X пространства векторных полей D ^ 1 (M) от M , Зависящее от векторного поля X и удовлетворяющее условиям:

\ Nabla_fX + {} _ {gV} Z = f \ nabla_XZ,
\ Nabla_X (fZ) = f \ nabla_XZ + (Xf) Y,

где X , Y , Z \ in D '(M) , f , g - Гладкие функции на M . Связность \ Gamma и параллельный перенос, определяемых этим оператором, позволяют распространить действие ковариантной производной к линейному отображения алгебры D (M) в себя, при этом отображение \ Nabla X является дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочное с сверткой.

В локальных координатах u ^ 1, u ^ 2 \ ldots, u ^ n ковариантная производная тензора с компонентами T (T ^ {i_1 \ ldots {i_l}} _ {j_1 \ ldots {j_m}}) относительно вектора X = \ xi ^ i \ frac {\ partial} {\ partial u ^ i} определяется так:

\ Nabla_XT = \ xi ^ s (\ frac {\ partial T ^ {i_1 \ ldots i_l} _ {j_1 \ ldots m}} {\ partial u ^ s} + \ Gamma ^ {i_1} _ {k_s} T ^ { k \ ldots i_l} _ {j_1 \ ldots j_m} + \ ldots-\ Gamma ^ k_ {j_ {i, s}} T ^ {i_1 \ ldots i_l} _ {k \ ldots j_m}),

\ Gamma ^ i_ {ks} - Объект связности \ Gamma .

2) Производная Ли вдоль векторного поля X - Отображение L_X пространства D '(M) , Определенное формулой L_X ~: ~ Y \ rightarrow [X, ~ Y] , Где [X, ~ Y] - Коммутатор векторных полей XY . Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования D (M) , Сохраняет тип тензоров и переставляется со сверткой. В локальных координатах Ли производная тензора T (T ^ {i_1 \ ldots {i_l}} _ {j_1 \ ldots {j_m}}) выражается так:

\ Nabla_XT = \ xi ^ s (\ frac {\ partial T ^ {i_1 \ ldots i_l} _ {j_1 \ ldots m}} {\ partial u ^ s} + \ Gamma ^ {i_1} _ {k_s} T ^ { k \ ldots i_l} _ {j_1 \ ldots j_m} + \ ldots-\ Gamma ^ k_ {j_ {i, s}} T ^ {i_1 \ ldots i_l} _ {k \ ldots j_m}),

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) - линейный оператор d , Что сопоставляет внешний дифференциальной форме (кососиметричному Ковариантный тензора) степени p форму такого же вида и степени p +1 , Которая удовлетворяет условиям:

d (\ omega_1 \ wedge \ omega_2) = d \ omega_1 \ wedge \ omega_2 + (-1) ^ r \ omega_1 \ wedge d \ omega_2, ~ ~ ~ ~ d ​​(d \ omega) = 0,


где \ Wedge - Символ внешнего произведения r - Степень \ Omega_1 . В локальных координатах внешняя производная тензора \ Omega \ langle \ omega_ {i_1 \ ldots i_p} \ rangle выражается так:

d \ omega = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ k \ frac {\ partial \ omega_ {i_1 \ ldots \ hat i_k \ ldots i_ {p +1}}} {\ partial u ^ { i_k}}.

Оператор d - Обобщение оператора \ Operatorname {rot} .

4) Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора g_ {if} является действием некоторого нелинейного оператора R :

g_ {if} \ rightarrow R ^ s_ {mlk} = \ frac {\ partial \ Gamma ^ s_ {km}} {\ partial u ^ l} ​​- \ frac {\ partial \ Gamma ^ s_ {kl}} {\ partial u ^ m} + \ sum_p (\ Gamma ^ s_ {lp} \ Gamma ^ p_ {km} - \ Gamma ^ s_ {mp} \ Gamma ^ p_ {kl}),

где

\ Gamma ^ i_ {jk} = \ frac {1} {2} g ^ {is} (\ frac {\ partial g_ {js}} {\ partial u ^ k} + \ frac {\ partial g_ {ks}} {\ partial u ^ s} - \ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial u ^ s}).

Литература

  • Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - Москва: Наука, 1969 - С. 352.
  • Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - Москва: Высшая школа, 1966 - С. 254.
  • Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. - Москва: ФМЛ, 1978 - С. 297.
  • Автор Книга. - Издательство. - С. 123.
  • Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - Москва: Наука, 1965 - С. 427.
  • Макконнел А.Дж. Введение в тензорный анализ. - Москва: ФМЛ, 1963 - С. 411.
  • Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - Москва: Изд. МГУ, 1986 - С. 264.
  • Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
  • Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
  • Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847.
  • Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.