Надо Знать

добавить знаний



Теория игр



План:


Введение

Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Поскольку стороны, участвующие в большинстве конфликтов, заинтересованы в том, чтобы скрыть от противника свои намерения, принятия решений в условиях конфликта обычно происходит в условиях неопределенности. Напротив, фактор неопределенности можно интерпретировать как противника субъекта, принимающего решения (тем самым принятие решений в условиях неопределенности можно понимать как принятие решений в условиях конфликта). В частности, многие утверждения математической статистики естественным образом формулируются как теоретико-игровые.

Теория игр - раздел прикладной математики, который используется в социальных науках (всего в экономике), биологии, политических науках, компьютерных науках (главным образом для искусственного интеллекта) и философии. Теория игр пытается математически зафиксировать поведение в стратегических ситуациях, в которых успех субъекта, делающего выбор зависит от выбора других участников. Если сначала развивался анализ игр, в которых один из противников выигрывает за счет других (игры с нулевой суммой), то впоследствии начали рассматривать широкий класс взаимодействий, которые были классифицированы по определенным критериям. На сегодняшний день "теория игр что-то вроде зонтика или универсальной теории для рациональной стороны социальных наук, где социальные можем понимать широко, включая как человеческих так не-человеческих игроков (компьютеры, животные, растения)" ( Роберт Ауманн, 1987)

Эта отрасль математики получила определенное отражение в массовой культуре. 1998 американская писательница и журналистка Сильвия Назар опубликовала книгу [1] о жизни Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике за достижения в теории игр, а в 2001 по мотивам книги сняли фильм "Игры разума". (Таким образом, теория игр - одна из немногих отраслей математики в которой можно получить Нобелевскую премию). Некоторые американские телевизионные шоу, например, Friend or Foe?, Alias ​​или NUMBERS периодически используют в своих выпусках теории игр.


1. Понятия теории игр

Логической основой теории игр является формализация трех понятий, входящих в ее определение и являются фундаментальными для всей теории:

  • Конфликт,
  • Принятие решения в конфликте,
  • Оптимальность принятого решения.

Эти понятия рассматриваются в теории игр в широком смысле. Их формализации соответствуют содержательным представлением о соответствующих объектах.

Содержательно, конфликтом можно считать любое явление, относительно которого можно говорить о его участников, об их действиях, о результатах явлений, к которым приводят эти действия, о сторонах, которые так или иначе заинтересованы в таких последствиях, и о сущности этой заинтересованности.

Если назвать участников конфликта коалициями действия (обозначив их множество как ℜ D, возможные действия каждой из коалиции действия - ее стратегиями (множество всех стратегий коалиции действия K обозначается как S), результаты конфликта - ситуациями (множество всех ситуаций обозначается как S; считается, что каждая ситуация складывается вследствие выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии, так, что S \ subset \ prod_ {K \ in \ Re} S_K ), Заинтересованные стороны - коалициями интересов (их множество - ℜ I) и, наконец, говорить о возможных преимуществах для каждой коалиции интересов K одной ситуации s "перед другой s" (этот факт обозначается как s ^ \ prime \ mathop {\ prec} _ {K} s ^ {\ prime \ prime} ), То конфликт в целом может быть описан как система

\ Gamma = \ langle \ Re_D, \, \ {S_K \} _ {K \ in \ Re_D} \, S, \, \ Re_I, \, \ {\ mathop {\ prec} _ {K} \} _ {K \ in \ Re_I} \ rangle .

Такая система, представляющая конфликт, называется игрой. Конкретизации составляющих, которые задают игру, приводят к различным классов игр.


2. Классификация игр

Если в игре есть только одна коалиция действия K, можно считать, что множество ситуаций S совпадает с множеством стратегий S K. Такие игры называются нестратегическими. К ним относятся игры без побочных платежей и классические кооперативные игры, вместе с их разновидностями. Если в игре множества коалиций действия и коалиций интересов совпадают (ℜ D = ℜ I = I, в этом случае и те, и другие коалиции называются игроками), S = \ prod_ {i \ in I} S_i , А отношение предпочтения называются функциями выигрыша, то получаем бескоалиционный игры.

Отдельными классами бескоалиционный игр является

и другие, также относятся к бескоалиционный игр.


3. Математический аппарат

Теория игр широко использует различные математические методы и результаты теории вероятностей, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижные точки), комбинаторной топологии, теории Недавно и интегральных уравнений, и другие. Специфика теории игр способствует разработке разнообразных математических направлений (например, теория выпуклых множеств, линейное программирование, и т.д.).

Принятием решения в теории игр считается выбор коалицией действия, или, в частности, выбор игроком некоторой своей стратегии. Этот выбор можно представить себе в виде одноразового действия и сводить формально к выбору элемента из множества. Игры с таким пониманием выбора стратегий называются играми в нормальной форме. Им противопоставляются динамичные игры, в которых выбор стратегии является процессом, который происходит в течение некоторого времени, сопровождается расширением и сужением возможностей, получением и потерей информации о текущем состоянии дел, и тому подобное. Формально, стратегией в такой игре есть функция, определенная на множестве всех информационных состояний субъекта, принимающего решения. Некритическое использование "свободы выбора" стратегий может приводить к парадоксальным явлениям.


3.1. Оптимальность и решения

Вопрос о формализации понятия оптимальности является весьма сложным. Единое представление об оптимальности в теории игр отсутствует, поэтому приходится рассматривать несколько принципов оптимальности. Область возможности применения каждого из принципов оптимальности, используемые в теории игр, ограничивается сравнительно узкими классами игр, или же касается ограниченных аспектов их рассмотрения.

В основе каждого из этих принципов лежат некоторые интуитивные представления о оптимум, как о чем-то "устойчивое", или "справедливое". Формализация этих представлений дает требования, предъявляемые к оптимуму и имеющие характер аксиом.

Среди этих требований могут оказаться такие, которые противоречат друг другу (например, можно показать конфликты, в которых стороны вынуждены довольствоваться малыми выигрышами, поскольку крупных выигрышей можно достичь только в условиях неопределенных ситуаций), поэтому в теории игр не может быть сформулирован единый принцип оптимальности.

Ситуации (или множества ситуаций), которые удовлетворяют в некоторой игре те или иные требования оптимальности, называются решениями этой игры. Так как представление об оптимальности не однозначны, можно говорить о развязки игр в разных смыслах. Создание определений решений игр, доведение их существования и разработка путей их фактического поиска - три основных вопроса современной теории игр. Близкими к ним есть вопросы о единственности решений игр, о существовании в тех или иных классах игр решений, которые имеют некоторые заранее определенные свойства.


4. История

Как математическая дисциплина, теория игр зародилась одновременно с теорией вероятностей в 17 веке, но на протяжении почти 300 лет почти не развивалась. Первой существенной работой по теории игр следует считать статью Дж. фон Неймана "К теории стратегических игр" ( 1928), а с выходом в свет монографии американских математиков Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна ?Теория игр и экономическое поведение" ( 1944), теория игр сформировалась как самостоятельная математическая дисциплина. В отличие от других отраслей математики, которые имеют преимущественно физическое или физико-технологическое происхождение, теория игр с самого начала своего развития была направлена ​​на решение задач, возникающих в экономике (а именно в конкурентной экономике).

В дальнейшем, идеи, методы и результаты теории игр начали применять в других областях знаний, имеющих дело с конфликтами: в военном деле, в вопросах морали, при изучении массового поведения индивидов, имеющих различные интересы (например, в вопросах миграции населения, или при рассмотрении биологической борьбы за существование). Теоретико-игровые методы принятия оптимальных решений в условиях неопределенности могут иметь широкое применение в медицине, в экономическом и социальном планировании и прогнозировании, в ряде вопросов науки и техники. Иногда теорию игр относят к математического аппарата кибернетики, или теории исследования операций.


См.. также

5. Источники информации

Примечания

  1. A Beautiful Mind: A Biography of John Forbes Nash, Jr., Winner of the Nobel Prize in Economics Simon & Schuster, 1994. ISBN 0-684-81906-6


Теория игр

Типы игр

антагонистические ? дифференциальные ? матричные ? на выживание ? рефлексивные ? азартные ? без побочных платежей ? бескоалиционный ? биматричных ? вырожденные ? динамические ? с выбором момента времени ? кооперативные ? на графе ? на единичном квадрате ? выпуклые ? позиционные ? простые ? рекурсивные ? стохастические

Ситуации

Безвыигрышная ситуация ? Парадокс Бертрана (экономика) ? Ситуация равновесия

Стратегия

смешанная ? оптимальная ? поведения ? чистая

Теоремы

Максимин принцип ? минимакс теорема

Игры

Дилемма заключенного ? РО-ПП


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам