Треугольник Рело

Построение треугольника Рело

Треугольник Рело ( англ. Reuleaux triangle ) - плоская выпуклая геометрическая фигура [1], самая после круга фигура постоянной ширины [2]. Образуется сечением трех одинаковых кругов с радиусом a и центрами, расположенными в вершинах равностороннего треугольника со стороной a , Где a - Число, которое называют шириной полученной фигуры [2] [3].

Постоянство этой ширины означает следующее: если к треугольнику Рело провести пару параллельных опорных прямых [* 1], то расстояние между ними всегда будет равна a , Независимо от выбранного направления [4]. Одна из этих прямых всегда проходит через одну из вершин треугольника, а вторая является касательной к противоположному дуги [5].

Треугольник Рело ограничивает негладкая замкнутая выпуклая кривая, которая носит такое же название. Она происходит от фамилии немецкого механика Франца Рело, который первым продемонстрировал постоянство ширины этой фигуры и использовал ее в своих механизмах [6].

Среди других фигур постоянной ширины треугольник Рело выделяет ряд его предельных свойств - наименьшая площадь, наименьший возможный угол при вершине, самая асимметричность относительно центра. Также треугольник получил распространение в технике - на его основе были созданы кулачковые и грейферы, роторный двигатель Ванкеля, а также дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия.


1. История

Mappa mundi. Леонардо да Винчи, примерно 1514

Рело не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал ее. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движению плоской фигуры, и на примере искаженного треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трех контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась [7].

Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг круга Леонард Эйлер в XVIII веке [8]. Однако, такой треугольник можно найти еще раньше, в XV веке его упоминал в своих рукописях Леонардо да Винчи. В частности, треугольник Рело встречается в его манускриптах A и B (хранятся в Институте Франции) [9], а также в Мадридском кодексе [8].

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своем роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90 ?) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рело, собранными по четыре вокруг полюсов [10].

Еще раньше, в XIII веке, строители церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рело как форму для некоторых окон [8].


2. Свойства

2.1. Основные геометрические характеристики

Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg

Если ширина треугольника Рело равна a , То его площадь равна [11]

S = {{1} \ over {2}} \ left (\ pi - \ sqrt {3} \ right) \ cdot a ^ 2,

периметр

p = \ pi a,

радиус вписанной окружности

r = \ left (1 - {{1} \ over {\ sqrt {3}}} \ right) \ cdot a,

а радиус описанной окружности

R = {{a} \ over {\ sqrt {3}}} .

2.1.1. Симметрия

Треугольник Рело имеет осевую симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярна плоскости треугольника и проходящей через его центр [* 2]. Таким образом, группа симметрий треугольника Рело состоит из шести отражений (включая тождественно) и совпадает с группой D_3 симметрий правильного треугольника.


2.1.2. Построение циркулем

Треугольник Рело можно построить с помощью одного лишь циркуля, не пользуясь линейкой. Это построение сводится к последовательному проведению трех равных кругов. Центр первого можно выбрать произвольно, центром второго может быть любая точка первого круга, а центром третьей - любая из двух точек пересечения первых двух кругов.


2.2. Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины

Треугольник Рело, будучи фигурой постоянной ширины, имеет все свойства, характерные для любой другой фигуры из этого класса.

  • По теореме Барбье периметр треугольника Рело шириной a равна \ Pi a [12] [13] [14] [5].
  • С каждой из своих опорных прямых треугольник Рело имеет лишь по одной общей точке [15].
  • Расстояние между двумя произвольными точками треугольника Рело шириной a не может превышать a [16].
  • Отрезок, соединяющий точки соприкосновения двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рело, является перпендикуляром к этим опорных прямых [17];
  • Через произвольную точку границы треугольника Рело проходит хотя бы одна опорная прямая [18].
  • Через каждую точку P границы треугольника Рело проходит охватывающее его круг радиусом a , Причем опорная прямая, проведенная к треугольнику Рело через P , Касается круга в точке P [19].
  • Радиус окружности, имеющий не менее трех общих точек с границей треугольника Рело шириной a , Не превышает a [20].
  • По теореме Ханфрида Ленца о множествах постоянной ширины треугольник Рело невозможно разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника [21] [22].
  • Треугольник Рело, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат [23], а также в правильный шестиугольник [24].

2.3. Уникальные свойства

Треугольник Рело обладает рядом свойств, которых не имеют другие фигуры постоянной ширины.

2.3.1. Наименьшая площадь

Среди всех фигур постоянной ширины a треугольник Рело имеет наименьшую площадь [2]. Это утверждение называется теоремой Бляшке - Лебега [25] [26] (в честь немецкого геометра Вильгельма Бляшке, который опубликовал теорему в 1915 году [27], и французского математика Анри Лебега, который сформулировал ее в 1914 году [28]). В разное время варианты ее доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931) [29] [30], Антон Майер (1935 год) [31], Гарольд Эгглстон (1952 год) [32], Абрам Безикович (1963 год) [33], Дональд Шакериан (1966 год) [34], Эванс Харрелл (2002 год) [35] и другие математики [36].

Определить площадь треугольника Рело можно добавлением к площади внутреннего равностороннего треугольника

S_ \ triangle = {{\ sqrt {3}} \ over {4}} \ cdot a ^ 2

площадей трех одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60 ?

S_ {seg} = {{a ^ 2} \ over {2}} \ left ({{\ pi} \ over {3}} - \ sin {{\ pi} \ over {3}} \ right) = { \ left ({{\ pi} \ over {6}} - {{\ sqrt {3}} \ over {4}} \ right) \ cdot a ^ 2}

тогда площадь треугольника Рело составляет

S_ {rt} = S_ \ triangle + 3S_ {seg} = {{1} \ over {2}} \ left (\ pi - \ sqrt {3} \ right) \ cdot a ^ 2 = a ^ 2 \ cdot 0 {} 70477 \ ldots [37].

Фигура, имеющего обратную предельной свойство - круг. Среди всех фигур заданной постоянной ширины его площадь

S_ \ circ = a ^ 2 \ cdot {{\ pi} \ over {4}} = a ^ 2 \ cdot 0 {} 78539 \ ldots

является максимальной [38] [* 3]. Однако площадь соответствующего треугольника Рело меньше лишь на ~ 10,27%. В этих незначительных пределах лежат площади всех остальных фигур заданной постоянной ширины.


2.3.2. Наименьший угол

Через каждую вершину треугольника Рело, в отличие от других его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют "пучок". Угол между крайними прямыми этого "пучка" называется углом у вершины. Для фигур постоянной ширины угол у вершин не может быть менее 120 ?. Единственная фигура постоянной ширины, что углы, равные в точности 120 ? - это треугольник Рело [39].


2.3.3. Минимальная центральная симметрия

Треугольник Рело (коричневый) и его образ при центральной симметрии относительно своего центра (заштрихована). Самая центрально-симметричная фигура, расположенная в нем (криволинейный шестиугольник), и наименьшая центрально-симметричная, в которой он расположен ( правильный шестиугольник) выделены жирной линией

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет центральную симметрию в минимальной степени [40] [41] [42] [43]. Для того, чтобы дать количественную оценку его симметричности, можно воспользоваться различными методами. Один из них - это мера Ковнера - Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры C она равна

\ Sigma (C) = {{\ mu (A)} \ over {\ mu (C)}}

где \ Mu - Площадь фигуры, A - Центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади содержится в фигуре C . Для треугольника Рело такой фигурой является шестиугольник с искривленными сторонами, получаемая пересечением этого треугольника Рело со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра [* 4]. Мера Ковнера - Безиковича для треугольника Рело равна

\ Sigma = {{6 \ arccos {\ left ({{5 + \ sqrt {33}} \ over {12}} \ right)} + \ sqrt {3} - \ sqrt {11}} \ over {\ pi - \ sqrt {3}}} = 0 {,} 84034 \ ldots [40] [36]

Другой метод - это мера Эстерманна

\ Tau (C) = {{\ mu (C)} \ over {\ mu (B)}}

где B - Центрально-симметричная фигура минимальной площади, содержащий C . Для треугольника Рело B - Это правильный шестиугольник, поэтому степень Эстерманна равна

\ Tau = {{\ pi - \ sqrt {3}} \ over {\ sqrt {3}}} = 0 {,} 81379 \ ldots [34] [36]

Для центрально-симметричных фигур степени Ковнера - Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральную симметрию имеет лишь круг [13], которое (вместе с треугольником Рело) и ограничивает спектр возможных значений их симметричности.


3. Качения по квадрату

Качения треугольника Рело по квадрату и траектория его центра

Пусть фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причем направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно [23]. Это свойство полностью характеризует фигуры постоянной ширины. Иными словами, произвольная фигура, вокруг которой можно "вращать" описан квадрат, будет фигурой постоянной ширины. Треугольник Рело - не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нем, постоянно касаясь всех четырех сторон [44] [5].

Каждая вершина треугольника при его вращении "проходит" почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории только в углах - там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его большая и малая оси повернуты на угол в 45 ? относительно сторон квадрата и равны

a \ cdot \ left (\ sqrt {3} \ pm1 \ right),

где a - Ширина треугольника [45]. Каждый из четырех эллипсов касается до двух смежных сторон квадрата на расстоянии

a \ cdot \ left (1 - {{\ sqrt {3}} \ over {2}} \ right) = a \ cdot 0 {} 13397 \ ldots

от угла [37].

Reuleaux triangle rotation corners.svg Reuleaux shape corner.svg
Эллипс (обозначен красным цветом), что определяет один из углов фигур (ее границы выделено черным цветом), который покрывает треугольник Рело при вращении в квадрате
Угол, покрывается вращением фигуры. Подписанные точки соприкосновения сторон квадрата с эллипсом. Светло-желтым цветом показано не покрытый при вращении угол квадрата

Центр треугольника Рело при вращении движется траектории, состоящей из четырех одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повернуты на угол в 45 ? относительно сторон квадрата и равны

a \ cdot \ left (1 \ pm {{1} \ over \ sqrt {3}} \ right) [45].
Reuleaux triangle rotation center.svg Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg
Эллипс (выделен красным цветом), что определяет четверть кривой, по которой движется центр треугольника Рело при вращении в квадрате
Траектория центра треугольника Рело при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырех дуг эллипсов. Для сравнения показано круг (синим цветом), что проведенная через эти же четыре точки

Площадь каждого из четырех не покрытых вращением углов равна

\ Beta = a ^ 2 \ cdot \ left (1 - {{\ sqrt {3}} \ over {2}} - {{\ pi} \ over {24}} \ right) [46]

и, отняв их от площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рело при вращении в нем

a ^ 2 - 4 \ beta = a ^ 2 \ cdot \ left (2 \ sqrt {3} + {{\ pi} \ over {6}} - 3 \ right) = a ^ 2 \ cdot 0 {} 98770 \ ldots [46] [37] [47]

Разница с площадью квадрата составляет всего около 1,2%, поэтому на основе треугольника Рело создают сверла, которые позволяют получать практически квадратные отверстия.


4. Применение

4.1. Сверление квадратных отверстий

"Мы все слышали о гаечные ключи, предназначенные для гаек с левой резьбой, завязанные на ГУДЗ водопроводные трубы и бананы с чугуна. Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь действительно встретятся нам. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия! "

рекламная листовка фирмы
"Watts Brothers Tool Works" [48]

Сверло с сечением в форме треугольника Рело и режущими кромками, что совпадают с вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия с прямыми сторонами, но закругленными углами (см. Коченов по квадрату). Однако при вращении такого сверла его центр не будет оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных сверл, а будет описывать кривую, состоящую из четырех дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению [45].

Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английском инженеру, который работал в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратным проемом, в котором двигалось сверло, вставленное в "плавающий патрон". Патенты на патрон [49] и сверло [50] были получены Уаттсом в 1917 году. Продажа новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works [51] [52]. Еще один патент США на похожий изобретение был выдан в 1978 году [53].


4.2. Двигатель Ванкеля

Схема работы двигателя Ванкеля

Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля : ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рело [54]. Он обращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде [55]. Вал ротора жестко соединен с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестерней. Такой трехгранный ротор обкочуеться вокруг шестерни, все время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объема, каждая из которых по очереди является камерой сгорания [54]. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить четырехтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигания, смазки, охлаждения и запуск в нем принципиально такие же, как в обычных поршневых двигателях внутреннего сгорания [55].

Двигатели Ванкеля в 2-3 раза меньше по массе и размерам, чем обычные поршневые двигатели внутреннего сгорания аналогичной мощности [55]. Также они позволяют получить крутящий момент без использования коленчатого вала и шатунов [54].


4.3. Ковш механизм

Рамочные-кулачковый грейферный механизм кинопроектора "Луч-2"

Ковш механизм пленочного кинопроектора, отвечающий за "дискретное" лентопротяжного, использует треугольник Рело, который вращается внутри движущегося квадрата [54].


4.4. Крышки для люков

Крышка люка для восстановленной воды в Сан-Франциско

В форме треугольника Рело можно изготавливать крышки для канализационных люков - благодаря постоянной ширине они не могут упасть в люк [56]. В Сан-Франциско, для системы рекуперации воды корпуса люков имеют форму треугольника Рело, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.


4.5. Кулачковый механизм

Треугольник Рело использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа возвращает треугольник Рело, который прикреплен к толкателя двумя передаточными рычагами и заставляет его совершать возвратно-поступательное движение [57]. По терминологии Рело, это соединение образует "высшее" кинематическую пару, так как контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности [58]. В такого рода кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остается некоторое конечное промежуток времени недвижимым [57] [9].

Треугольник Рело прежнему широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рело используют немецкие часовщики мануфактуры A. Lange & S?hne в механизме наручных часов "Lange 31" [59].


4.6. Каток

Катки с сечением в виде круга и треугольника Рело. Немецкий технический музей

Для перемещения тяжелых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колесные, но и простые конструкции, например, цилиндрические катки [60]. Для этого груз следует разместить на плоской подставке, установленной на катках, а дальше толкать его. По мере высвобождения задних катков их переносить и класть спереди [61] [60]. Такой способ транспортировки человечество использовало в изобретения колеса.

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так тряска потребует дополнительных усилий от того, кто толкает [61]. Для того, чтобы движение по катках был прямолинейным, их сечение должно быть фигурой постоянной ширины [62] [61]. Чаще всего в сечении был круг, ведь катками служили обычные бревна. Однако сечение в виде треугольника Рело даст не хуже возможность передвигать предметы так же прямолинейно [54] [61].


5. Треугольник Рело в искусстве

5.1. Архитектура

Башня Кельнский треугольник

Форма треугольника Рело используется также и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических постройках достаточно редко [63] [64]. Окна в форме треугольника Рело можно видеть в церкви Богоматери в Брюгге [8], а также в шотландской церкви в Аделаиде [64]. Как элемент орнамента он встречается на оконных решетках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Гаутериф (Фрибург) [63].

Треугольник Рело используют и в архитектуре, которая не относится к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кельне 103-метровая башня под названием "Кельнский треугольник" ( нем. K?lnTriangle ) В сечении имеет именно форма этой фигуры [65].

Некоторые примеры использования
Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 2.jpg Reuleaux triangle shaped window of Sint-Salvatorskathedraal, Bruges.jpg Reuleaux triangle shaped window of ?glise Saint-Didier, Avignon.jpg Reuleaux triangles on a window of Notre-Dame, Paris.jpg Reuleaux triangle shaped windows of Sint-Baafskathedraal, Ghent 1.jpg Reuleaux triangle shaped windows of Sint-Michielskerk, Ghent.jpg
Окно в церкви Богоматери в Брюгге Окно в соборе святого Сальватора в Брюгге Окно колокольни церкви святого Дидье в Авиньоне Окно в соборе Парижской Богоматери Окно в соборе святого Бавона в Генте Окна церкви святого Михаила в Генте
Reuleaux triangles on a window of Saint Michael church, Luxembourg.jpg Reuleaux triangle shaped window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges.jpg Reuleaux triangles on a window of Onze-Lieve-Vrouwekerk, Bruges 1.jpg Reuleaux triangles on a window of St. Michael and St. Gudula Cathedral, Brussels.jpg Reuleaux triangle shaped windows of Groot Vleeshuis, Ghent.jpg Reuleaux triangles on a window of Sint-Baafskathedraal, Ghent 2.jpg
Окно в церкви святого Михаила в Люксембурге Окно в церкви Богоматери в Брюгге Окно в церкви Богоматери в Брюгге Окно в соборе святых Михаила и Гудулы в Брюсселе Окна средневекового здания мясного рынка в Генте Окно в соборе святого Бавона в Генте

5.2. Литература

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона "Треугольное колесо" [66] экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колеса, поскольку все круглое находилось под религиозной запретом. За сотни километров от места посадки предыдущая земная экспедиция покинула состав с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В результате землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рело.


6. Обобщение

Семиугольник Рело, построенный на неправильном звездообразном семиугольника

Идею, лежащую в основе треугольника Рело можно обобщить, используя для создания фигуры постоянной ширине не равносторонний треугольник, а звездообразный многоугольник, образованный отрезками прямых одинаковой длины [67]. Если из каждой вершины звездообразного многоугольника провести дугу окружности, сочетающий две смежные вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса [67]. Такие кривые называются многоугольники Рело [68] [69].

Правильные многоугольники Рело

Семейство многоугольников Рело определенной ширины a образует плотную подмножество в множестве всех кривых постоянной ширины a [68]. Иными словами, с их помощью можно как угодно точно приблизить произвольную кривую постоянной ширины [70] [69].

Среди многоугольников Рело выделяют класс кривых, построенных на основе правильных звездообразных многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рело. Все дуги, из которых составлен такого рода многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую градусную меру [71]. Кроме того, среди всех многоугольников Рело с фиксированным количеством сторон и одинаковой шириной правильные многоугольники ограничивают наибольшую площадь [71] [72]. Треугольник Рело принадлежит именно к этому классу.


7. Трехмерные аналоги

Тетраэдр Рело

Трехмерным аналогом треугольника Рело как пересечения трех кругов является тетраэдр Рело - пересечение четырех одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны длине стороны этого тетраэдра. Однако тетраэдр Рело не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных предельных криволинейных ребер, соединяющих его вершины, в

\ Sqrt {3} - \ frac {\ sqrt {2}} {2} = 1 {} 02494 \ ldots

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра [73] [74].

Тем не менее, тетраэдр Рело можно видоизменить так, чтобы полученное тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трех пар противоположных криволинейных ребер одно ребро определенным образом "сглаживается" [74] [75]. Полученные таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты или сходящимися в одной вершине, или такие, которые образуют треугольник [75]) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера [73]. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером фенхеля в 1934 году [76] гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют объем всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2011 год) эта гипотеза не доказана [77] [78].

Тело вращения, получаемая при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии, является телом постоянной ширины. Оно имеет наименьший объем среди всех тел вращения постоянной ширины [79] [74] [80].


8. Комментарии

  1. Опорная прямая проходит через одну точку границы фигуры, не разделяя при этом фигуру на части.
  2. Центр треугольника Рело - это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника.
  3. Это утверждение следует из совокупности двух теорем - классической изопериметрические задачи Дидоны и теоремы Барбье.
  4. Центр треугольника Рело - это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника.

9. Примечания

  1. Постоянной ширины кривая / / Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 478. - 150000 экз.
  2. а б в Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия. - Т. 4. - 150000 экз.
  3. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 91
  4. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 90
  5. а б в Люстерник Л. А. овалы постоянной ширины / / выпуклые фигуры и многогранники. - М.: ГИТТЛ, 1956. - С. 42-47.
  6. Pickover CA Reuleaux Triangle / / The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. - New York; London : Sterling, 2009. - P. 266-267. - 528 p. - ISBN 1-4027-5796-4 (Англ.)
  7. Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, p. 240
  8. а б в г Taimina D., Henderson DW "Reuleaux Triangle" - kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02 /. Kinematic Models for Design Digital Library (на английском). Cornell University . Проверено 2011-10-11 .
  9. а б Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, p. 241
  10. Snyder JP Emergence Of Map Projections: Classical Through Renaissance / / Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. - University Of Chicago Press. - P. 40. - 384 p. - ISBN 0-2267-6747-7 (Англ.)
  11. "WolframAlpha: Reuleaux Triangle" - www.wolframalpha.com/entities/lamina/reuleaux_triangle/ph/xf/b8/. WolframAlpha (на английском). Wolfram Research . Проверено 2011-11-18 .
  12. Barbier E. Note Sur Le probl?me De l'Aiguille ET Le Jeu Du Joint Couvert - mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf Т. 5. - (1860) С. 273-286.
  13. а б Bogomolny A. "The Theorem of Barbier" - www.cut-the-knot.org/ctk/Barbier.shtml. Cut the Knot (на английском).
  14. Eggleston. Convexity, 1958, p. 127
  15. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 201
  16. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 201-202
  17. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 202-203
  18. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 203
  19. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 203-204
  20. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 204-206
  21. Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers Т. 6. - (1955) С. 413-416. DOI : 10.1007/BF01900515 - dx.doi.org/10.1007/BF01900515.
  22. Райгородский А. М. Проблема Борсука. Универсальные покрышки - www.mccme.ru / free-books / matprosd.html М.: МЦНМО (2008) (12).
  23. а б Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 92
  24. Eggleston. Convexity, 1958, p. 127-128
  25. Eggleston. Convexity, 1958, p. 128-129
  26. Марсель Берже Геометрия = G?om?trie / Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А.В. Пажитнова, С.В. Чмутова. - М.: Мир, 1984. - Т. 1. - С. 529.
  27. Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts Т. 76. - Mathematische Annalen (1915) С. 504-513. DOI : 10.1007/BF01458221 - dx.doi.org/10.1007/BF01458221.
  28. Lebesgue H. Sur Le probl?me Des isop?rim?tres ET Sur Les Domaines De largeur Constant (1914) С. 72-76.
  29. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke's Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area Т. 3. - (1927) С. 307-309.
  30. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke's Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II Т. 7. - (1931) С. 300-302.
  31. Mayer AE Der Inhalt der Gleichdicke: Absch?tzungen f?r ebene Gleichdicke Т. 110. - (1935) С. 97-127. DOI : 10.1007/BF01448020 - dx.doi.org/10.1007/BF01448020.
  32. Eggleston HG A proof of Blaschke's theorem on the Reuleaux triangle / / Quarterly Journal of Mathematics. - Т. 3. - (1952) (1) С. 296-297. DOI : 10.1093/qmath/3.1.296 - dx.doi.org/10.1093/qmath/3.1.296.
  33. Besicovitch AS Minimum area of a set of constant width / / Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Т. 7. - American Mathematical Society (1963) С. 13-14.
  34. а б [ GD - projecteuclid.org/euclid.pjm/1102993951 | Chakerian] Sets of constant width / / Pacific Journal of Mathematics. - Т. 19. - (1966) С. 13-21.
  35. Harrell EM A direct proof of a theorem of Blaschke and Lebesgue Т. 12. - (2002) С. 81-88. DOI : 10.1007/BF02930861 - dx.doi.org/10.1007/BF02930861. arXiv : math.MG/0009137 - arxiv.org/abs/math.MG/0009137
  36. а б в Finch SR Reuleaux Triangle Constants / / Mathematical Constants - algo.inria.fr / csolve / rx.pdf. - Cambridge : Cambridge University Press. - P. 513-515. - 624 p. - ISBN 0-5218-1805-2 (Англ.)
  37. а б в Weisstein EW. "Reuleaux Triangle" - mathworld.wolfram.com / ReuleauxTriangle.html. MathWorld (на английском).
  38. Болтянский В.Г. О вращении отрезка - kvant.mccme.ru/1973/04/p29.htm М.: Наука (1973) С. 29.
  39. Радемахер, Тёплиц. Числа и фигуры, 1962, с. 206-207
  40. а б Besicovitch AS Measure of Asymmetry of Convex Curves (II): Curves of Constant Width Т. 26. - (1951) С. 81-93. DOI : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 - dx.doi.org/10.1112/jlms/s1-26.2.81.
  41. Eggleston HG Measure of asymmetry of convex curves of constant width and restricted radii of curvature Т. 3. - (1952) С. 63-72. DOI : 10.1093/qmath/3.1.63 - dx.doi.org/10.1093/qmath/3.1.63.
  42. Gr?nbaum B. Measures Of Symmetry For Convex Sets Т. 7. - American Mathematical Society (1963) С. 233-270.
  43. Groemer H., Wallen LJ A Measure Of Asymmetry For Domains Of Constant Width - www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/19.html Т. 42. - (2001) С. 517-521.
  44. Андреев Н. Н. "Изобретая колесо" - www.etudes.ru/ru/mov/mov042/. Математические этюды.
  45. а б в Андреев Н. Н. "Сверление квадратных отверстий" - www.etudes.ru/ru/mov/mov017/. Математические этюды.
  46. а б Klee V., Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. - Washington DC: Mathematical Association of America, 1996. - P. 22. - 356 p. - (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). - ISBN 0-8838-5315-9 (Англ.)
  47. Wilson RG "A066666: Decimal expansion of area cut out by a rotating Reuleaux triangle" - oeis.org/A066666. OEIS (на английском).
  48. Цитата по книге Гарднер М. Математические досуги / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинский. - М.: Мир, 1972. - С. 292.
  49. Watts HJ "US patent 1,241,175 (Floating took-chuck)" - www.google.com/patents?id=l_JcAAAAEBAJ (на английском).
  50. Watts HJ "US patent 1,241,176 (Drill or boring member)" - www.google.com/patents?id=mPJcAAAAEBAJ (на английском).
  51. Smith. Drilling Square Holes, 1993
  52. Darling DJ Reuleaux triangle / / The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. - Hoboken: Wiley, 2004. - P. 272. - 400 p. - ISBN 0-4712-7047-4 (Англ.)
  53. Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD "US patent 4,074,778 (Square hole drill)" - www.google.com/patents?id=mb9M3AAAAEBAJ (на английском).
  54. а б в г д Андреев Н. Н. "Круглый треугольник Рело" - www.etudes.ru/ru/mov/mov001. Математические этюды.
  55. а б в Ванкеля двигатель / / Политехнический словарь / Редкол.: А. Ю. Ишлинский (гл. ред.) И др.. - 3-е изд., Перераб. и доп .. - М.: Советская энциклопедия, 1989. - С. 72. - ISBN 5-8527-0003-7
  56. White HS The Geometry of Leonhard Euler Amsterdam : Elsevier (2007) С. 309.
  57. а б "Model: L01 Positive Return Mechanism with Curved Triangle" - kmoddl.library.cornell.edu / model.php? m = 60. Kinematic Models for Design Digital Library (на английском). Cornell University.
  58. "Model: L06 Positive Return Cam" - kmoddl.library.cornell.edu / model.php? m = 262. Kinematic Models for Design Digital Library (на английском). Cornell University.
  59. Гопе И. A. Lange & S?hne Lange 31 - www.mywatch.ru/watch-art/art_1295.html (2010) С. 39.
  60. а б Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 212
  61. а б в г Бутузов В. Ф. и др. Глава 8. Окружность / / Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. - М.: Физматлит, 2005. - С. 265. - ISBN 5-9221-0635-X
  62. Коган Б. Ю. Удивительные катки - kvant.mirror1.mccme.ru/1971/03/udivitelnye_katki.htm М.: Наука.
  63. а б Brinkworth P., Scott P. "Fancy Gothic of Hauterive" - web.me.com/paulscott.info/place/pm13/pm13.html. The Place Of Mathematics (на английском).
  64. а б Scott P. "Reuleaux Triangle Window" - web.me.com/paulscott.info/maths-gallery/1/6.reuleaux-window.html. Mathematical Photo Gallery (на английском).
  65. "K?lnTriangle: Architecture" - www.koelntriangle.de / architecture / impressionen / tower / index_eng.html. Официальный сайт K?lnTriangle (на английском).
  66. Anderson P. The Three-Cornered Wheel Т. LXXII. - New York : Cond? Nast Publications (1963/10) С. 50-69.
  67. а б Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 215-216
  68. а б Bezdek M. On A generalization Of The Blaschke-Lebesgue theorem for disk-polygons - cdm.ucalgary.ca/index.php/cdm/article/view/190 Т. 6. - (2011) С. 77-85.
  69. а б Eggleston. Convexity, 1958, p. 128
  70. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, с. 98-102
  71. а б Firey WJ Isoperimetric Ratios Of Reuleaux Polygons - projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038230 Т. 10. - (1960) С. 823-829.
  72. Sallee GT Maximal Areas Of Reuleaux Polygons - math.ca/10.4153/CMB-1970-037-1 Т. 13. - (1970) С. 175-179. DOI : 10.4153/CMB-1970-037-1 - dx.doi.org/10.4153/CMB-1970-037-1.
  73. а б Weisstein EW. "Reuleaux Tetrahedron" - mathworld.wolfram.com / ReuleauxTetrahedron.html. MathWorld (на английском).
  74. а б в Kawohl B., Weber C. Meissner'S Mysterious Bodies - www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/pub100.pdf Т. 33. - (2011) С. 94-101. DOI : 10.1007/s00283-011-9239-y - dx.doi.org/10.1007/s00283-011-9239-y.
  75. а б Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218
  76. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie Der konvexen K?rper. - Berlin : Springer-Verlag, 1934. - С. 127-139. (Нем.)
  77. Kawohl B. Convex Sets Of Constant Width - www.mi.uni-koeln.de/mi/Forschung/Kawohl/kawohl/OWR-Kawohl-0907a.pdf Т. 6. - (2009) С. 390-393.
  78. Anciaux H., Guilfoyle B. On the three-dimensional Blaschke-Lebesgue problem Т. 139. - Providence : AMS (2011) С. 1831-1839. DOI : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 - dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10588-9. arXiv : 0906.3217 - arxiv.org/abs/0906.3217
  79. Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimum problems for volumes of convex bodies New York : Marcel Dekker (1996) С. 43-55.
  80. Anciaux H., Georgiou N. The Blaschke-Lebesgue problem for constant width bodies of revolution. arXiv : 0903.4284 - arxiv.org/abs/0903.4284

Литература

10.1. Русском языке

  • Радемахер Г., Тёплиц А. Кривые постоянной ширины / / Числа и фигуры. Опыты математического мышления - math.ru/lib/bib-mat-kr/10 / Пер. с нем. В. И. Контовта. - М.: Физматгиз, 1962. - С. 195-211. - ("Библиотека математического кружка", выпуск 10). - 40000 экз.
  • Яглом И. М., Болтянский В.Г. Фигуры постоянной ширины / / выпуклые фигуры - ilib.mccme.ru/djvu/bib-mat-kr/4-figures.htm. - М.-Л.: ГТТЫ, 1951. - С. 90-105. - ("Библиотека математического кружка", выпуск 4). - 25000 экз.

10.2. Английский