Надо Знать![]() | Уравнения ДиракаПлан:
Литература ВведениеУравнения Дирака - релятивистский-инвариантное уравнения движения для биспинорного классического поля электрона, применимо также для описания других точечных фермионов с спином 1/2. Его впервые записал Поль Дирак в 1928. Уравнения Дирака привело к объяснению полуцелого спина электрона и до открытия античастиц, которым для электрона является позитроны. Частицу со спином 1/2 описывает нерелятивистской уравнения Паули, к которому сводится уравнение Дирака при малых энергиях. 1. Вид уравненияУравнения Дирака записывается в виде где
В данном представлении эти операторы являются матрицами размера 4 ? 4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикомутации) и называются альфа-матрицами Дирака Весь оператор в скобках в левой части уравнения называется оператором Дирака, точнее, в современной терминологии его следует называть гамильтонианом Дирака, поскольку оператором Дирака обычно называют ковариантный оператор D, которому уравнения Дирака записывается в виде DΨ = 0 (как описано в следующем замечании). В современной физике часто используется ковариантная форма записи [1] уравнения Дирака (подробнее см.. ниже): 2. Построение уравнения ДиракаУравнения Дирака - релятивистское обобщение уравнения Шредингера : Для удобства мы [ Кто? ] будем работать в координатном представлении, в котором состояние системы задается волновой функцией ψ (x, t). В этом представлении уравнение Шредингера записывается в виде где гамильтониан Гамильтониан нужно определить так, чтобы он описывал полную энергию системы. Для нерелятивистского свободного электрона (который ни с чем не взаимодействует, изолированный от всех посторонних полей) гамильтониан имеет вид аналогичный кинетической энергии в классической механике (если не считать ни релятивистских поправок, ни спина): где p j - операторы проекций импульса, где индекс j = 1,2,3 означает декартовы координаты. Каждый такой оператор действует на волновую функцию как пространственная производная: Чтобы описать релятивистскую частицу, нужно найти другой гамильтониан. При этом есть основания считать, что оператор импульса сохраняет только приведенное определение. Согласно релятивистского соотношения полную энергию системы можно выразить как Это приводит к выражению Это не совсем удовлетворительное уравнения, поскольку не видно явной лоренц-ковариантности (которая выражает формальное равноправие времени и пространственных координат, является одним из краеугольных камней специальной теории относительности), а кроме того - написан корень из оператора не выписан явно. Однако, возведения в квадрат левой и правой частей приводит к явно лоренц-ковариантного уравнения Клейна-Гордона. Дирак предложил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь только производные первого порядка по пространственным координатам (иначе говоря - операторы импульса в первой степени). Тогда, принимая, что коэффициенты перед производными, которую природу они не имели, - постоянные (вследствие однородности пространства), остается только записать: - Это и есть уравнение Дирака (для свободной частицы). Однако, коэффициенты есть Раскрывая скобки в левой части полученного уравнения, можно найти условия на α:
или, сокращенно записав все вместе:
или, еще короче, пользуясь фигурными скобками для обозначения антикомутаторив:
где {} - антикомутатор, который определяется как {A, B} ≡ AB + BA, и δ ij - символ Кронекера, который принимает значение 1 если два индекса уровне, а в противном случае - 0. См.. алгебра Клиффорд. Поскольку такие соотношения не могут выполняться для обычных чисел (ведь числа коммутируют, а α - нет), остается предположить, что α - это некоторые линейные операторы или матрицы (тогда единицы и нули в правой части соотношений можно считать соответственно единичным и нулевым оператором или матрицей ) и можно пытаться найти конкретный набор α, воспользовавшись данными соотношениями (и это удается). Становится понятно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (т.е. не скалярной), а векторной, имея в виду векторы некоего абстрактного "внутреннего" пространства, не связанного напрямую с обычным физическим пространством или пространством-временем. Матрицы должны быть Эрмита, так чтобы гамильтониан тоже был эрмитовых операторов. Минимальный размерность матриц, удовлетворяющих указанным критериям, четыре, то есть это комплексные матрицы 4 ? 4, хотя конкретный выбор матриц (или представления) не является однозначным. Эти матрицы образуют группу, в которой групповая операция - матричное умножение. Хотя выбор представления этой группы не влияет на свойства уравнения Дирака, он влияет на физический смысл компонент волновой функции. Волновая функция в таком случае должна быть четырехмерным комплексным абстрактным (не связанным прямо с векторами обычного пространства-времени) биспинорним полем. Во введении были приведены представления, которое использовал Дирак. Это представление можно правильно записать как где 0 и I - 2 ? 2 нулевая и единичная матрицы соответственно, и σ j (j = 1, 2, 3) - матрицы Паули, что является матричным представлением кватернионов, о которых давно известно, что они антикомутують. Гамильтониан в этом уравнения назаваеться гамильтонианом Дирака. Для обычного уравнения Дирака в двумерном пространстве или в трехмерном, но m = 0, вместо альфа-матриц достаточно лишь матриц Паули, вместо четырехкомпонентной биспинорного поля при этом роль волновой функции будет выполнять двухкомпонентное спинорного. 3. Релятивистской-ковариантная формаКовариантный запись уравнения Дирака для свободной частицы имеет следующий вид: или, используя правило Эйнштейна суммирования по индексам, повторяющиеся так: 3.1. ОбъяснениеЧасто полезно бывает пользоваться уравнением Дирака в релятивистской-ковариантного форме, в которой пространственные и временные координаты формально равноправны. Оператор импульса Умножая уравнения Дирака с каждой стороны на α 0 (вспоминая что α 0 ? = I) и подставляя его в определение для Четыре гамма матрицы определяются как: Эти матрицы имеют властивись, что где η метрика плоского пространства. Эти соотношения определяют алгебру Клиффорд, что называется алгеброй Дирака. Уравнения Дирака теперь можно записать, используя четыре-вектор x = (ct, x), как В этой форме уравнения Дирака можно получить с помощью нахождения экстремума действия где называется присоединенной матрицей Дирака для ψ. Это основа для использования уравнения Дирака в квантовой теории поля. В этой форме электромагнитное взаимодействие можно просто добавить расширив частную производную к калибровочной производной: 3.2. Запись с использованием "Feynman slash"Иногда используется запись с использованием "перечеркнутых матриц" ("Feynman slash"). Приняв обозначения
видим, что уравнение Дирака можно записать как и выражение для действия записывается в виде 4. Дираковськи Билинейные формыЕсть пять различных (нейтральных) дираковських билинейных форм без производных:
где 5. РешенияХарактерной особенностью уравнения Дирака является то, что для свободной частицы оно имеет 4 решения, которые интерпретируются как См.. такжеПримечания
код для вставки Данный текст может содержать ошибки. скачать |