Уравнения Дирака

План:

1 Вид уравнения
2 Построение уравнения Дирака
3 Релятивистской-ковариантная форма
- 3.1 Объяснение
- 3.2 Запись с использованием "Feynman slash"
4 Дираковськи Билинейные формы
5 Решения

Введение

Уравнения Дирака - релятивистский-инвариантное уравнения движения для биспинорного классического поля электрона, применимо также для описания других точечных фермионов с спином 1/2. Его впервые записал Поль Дирак в 1928.

Уравнения Дирака привело к объяснению полуцелого спина электрона и до открытия античастиц, которым для электрона является позитроны. Частицу со спином 1/2 описывает нерелятивистской уравнения Паули, к которому сводится уравнение Дирака при малых энергиях.

1. Вид уравнения

Уравнения Дирака записывается в виде

$\ Left (mc ^ 2 \ alpha_0 + c \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_j \ hat {p} _j \ right) \ psi (\ mathbf {x}, t) = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} (\ mathbf {x}, t)$

где $m \$ - масса электрона (или другого фермионов, что описывается уравнением), $c \$ - скорость света, $\ Hat {p} _j = - i \ hbar \ partial_j = - \ bar \ frac {\ partial} {\ partial x_j}$ - Три оператора компонент импульса (x, y, z), $\ Hbar = {h \ over 2 \ pi}$ , - постоянная Планка, x = (x, y, z) и t пространственные координаты и время, соответственно, и $\ Psi (\ mathbf {x}, t)$ - Четырехкомпонентной комплексная волновая функция ( биспинор).

$\ Psi (\ mathbf {x}, t) = \ left (\ begin {matrix} \ psi_1 (\ mathbf {x}, t) \ \ \ psi_2 (\ mathbf {x}, t) \ \ \ psi_3 (\ mathbf {x}, t) \ \ \ psi_4 (\ mathbf {x}, t) \ end {matrix} \ right)$

$\ Alpha_0, \ alpha_1, \ alpha_2, \ alpha_3 \$ - линейные операторы над пространством биспинорив, действующие на волновую функцию. Эти операторы подобраны таки образом, что каждая пара таких операторов антикомутуе, а квадрат каждого равна единице:

$\ Alpha_i \ alpha_j = - \ alpha_j \ alpha_i \$ , Где $i \ ne j$ и индексы $i, j \$ изменяются от 0 до 3,

$\ Alpha_i ^ 2 = 1$ для $i \$ от 0 до 3.

В данном представлении эти операторы являются матрицами размера 4 ? 4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикомутации) и называются альфа-матрицами Дирака

Весь оператор в скобках в левой части уравнения называется оператором Дирака, точнее, в современной терминологии его следует называть гамильтонианом Дирака, поскольку оператором Дирака обычно называют ковариантный оператор D, которому уравнения Дирака записывается в виде DΨ = 0 (как описано в следующем замечании).

В современной физике часто используется ковариантная форма записи ^[1] уравнения Дирака (подробнее см.. ниже):

$\ Left (i \ hbar c \, \ gamma ^ \ mu \, \ partial_ \ mu - mc ^ 2 \ right) \ psi = 0$

2. Построение уравнения Дирака

Уравнения Дирака - релятивистское обобщение уравнения Шредингера :

$\ Hat {H} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = i \ hbar {d \ over dt} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle.$

Для удобства мы ^{[ Кто? ]} будем работать в координатном представлении, в котором состояние системы задается волновой функцией ψ (x, t). В этом представлении уравнение Шредингера записывается в виде

$\ Hat {H} \ psi (\ mathbf {x}, t) = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {x}, t)} {\ partial t},$

где гамильтониан $\ Hat {H}$ теперь действует на волновую функцию.

Гамильтониан нужно определить так, чтобы он описывал полную энергию системы. Для нерелятивистского свободного электрона (который ни с чем не взаимодействует, изолированный от всех посторонних полей) гамильтониан имеет вид аналогичный кинетической энергии в классической механике (если не считать ни релятивистских поправок, ни спина):

$\ Hat {H} = \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ frac {\ hat {p} _j ^ 2} {2m}$

где p _j - операторы проекций импульса, где индекс j = 1,2,3 означает декартовы координаты. Каждый такой оператор действует на волновую функцию как пространственная производная:

$\ Hat {p} _j \ psi (\ mathbf {x}, t) \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ - i \ hbar \, \ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {x} , t)} {\ partial x_j}.$

Чтобы описать релятивистскую частицу, нужно найти другой гамильтониан. При этом есть основания считать, что оператор импульса сохраняет только приведенное определение. Согласно релятивистского соотношения полную энергию системы можно выразить как

$E = \ sqrt {(mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2}.$

Это приводит к выражению

$\ Sqrt {(mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2} \ \ psi = i \ hbar \ frac {d \ psi} {dt}.$

Это не совсем удовлетворительное уравнения, поскольку не видно явной лоренц-ковариантности (которая выражает формальное равноправие времени и пространственных координат, является одним из краеугольных камней специальной теории относительности), а кроме того - написан корень из оператора не выписан явно. Однако, возведения в квадрат левой и правой частей приводит к явно лоренц-ковариантного уравнения Клейна-Гордона. Дирак предложил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь только производные первого порядка по пространственным координатам (иначе говоря - операторы импульса в первой степени). Тогда, принимая, что коэффициенты перед производными, которую природу они не имели, - постоянные (вследствие однородности пространства), остается только записать:

$i \ hbar \ frac {d \ psi} {dt} = \ left [c \ sum_ {i = 1} ^ 3 \ alpha_i p_i + \ alpha_0 mc ^ 2 \ right] \ psi$

- Это и есть уравнение Дирака (для свободной частицы).

Однако, коэффициенты $\ Alpha_i \$ еще не определены. Если предположение Дирака правильное, то правая часть, возведена в квадрат, должна дать

$(Mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2$

есть

$\ Left (mc ^ 2 \ alpha_0 + c \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_j p_j \, \ right) ^ 2 = (mc ^ 2) ^ 2 + \ sum_ {j = 1} ^ 3 (p_jc) ^ 2.$

Раскрывая скобки в левой части полученного уравнения, можно найти условия на α:

$\ Alpha_i \ alpha_j + \ alpha_j \ alpha_i = 0 \,,$ для всех $i, j = 0, 1, 2, 3 (i \ ne j),$

$\ Alpha_i ^ 2 = 1 \,,$ для всех $i = 0, 1, 2, 3. \$

или, сокращенно записав все вместе:

$\ Alpha_i \ alpha_j + \ alpha_j \ alpha_i = 2 \ delta_ {ij} \$ для $\ I, j = 0, 1, 2, 3,$

или, еще короче, пользуясь фигурными скобками для обозначения антикомутаторив:

$\ Left \ {\ alpha_i, \ alpha_j \ right \} = 2 \ delta_ {ij} \$ для $\ I, j = 0, 1, 2, 3.$

где {} - антикомутатор, который определяется как {A, B} ≡ AB + BA, и δ _ij - символ Кронекера, который принимает значение 1 если два индекса уровне, а в противном случае - 0. См.. алгебра Клиффорд.

Поскольку такие соотношения не могут выполняться для обычных чисел (ведь числа коммутируют, а α - нет), остается предположить, что α - это некоторые линейные операторы или матрицы (тогда единицы и нули в правой части соотношений можно считать соответственно единичным и нулевым оператором или матрицей ) и можно пытаться найти конкретный набор α, воспользовавшись данными соотношениями (и это удается).

Становится понятно, что волновая функция должна быть не однокомпонентной (т.е. не скалярной), а векторной, имея в виду векторы некоего абстрактного "внутреннего" пространства, не связанного напрямую с обычным физическим пространством или пространством-временем.

Матрицы должны быть Эрмита, так чтобы гамильтониан тоже был эрмитовых операторов. Минимальный размерность матриц, удовлетворяющих указанным критериям, четыре, то есть это комплексные матрицы 4 ? 4, хотя конкретный выбор матриц (или представления) не является однозначным. Эти матрицы образуют группу, в которой групповая операция - матричное умножение. Хотя выбор представления этой группы не влияет на свойства уравнения Дирака, он влияет на физический смысл компонент волновой функции. Волновая функция в таком случае должна быть четырехмерным комплексным абстрактным (не связанным прямо с векторами обычного пространства-времени) биспинорним полем.

Во введении были приведены представления, которое использовал Дирак. Это представление можно правильно записать как

$\ Alpha_0 = \ begin {bmatrix} I & 0 \ \ 0 &-I \ end {bmatrix} \ quad \ alpha_j = \ begin {bmatrix} 0 & \ sigma_j \ \ \ sigma_j & 0 \ end {bmatrix}$

где 0 и I - 2 ? 2 нулевая и единичная матрицы соответственно, и σ _j (j = 1, 2, 3) - матрицы Паули, что является матричным представлением кватернионов, о которых давно известно, что они антикомутують.

Гамильтониан в этом уравнения

$\ Hat {H} = \, mc ^ 2 \ alpha_0 + c \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_j p_j \,$

назаваеться гамильтонианом Дирака.

Для обычного уравнения Дирака в двумерном пространстве или в трехмерном, но m = 0, вместо альфа-матриц достаточно лишь матриц Паули, вместо четырехкомпонентной биспинорного поля при этом роль волновой функции будет выполнять двухкомпонентное спинорного.

3. Релятивистской-ковариантная форма

Ковариантный запись уравнения Дирака для свободной частицы имеет следующий вид:

$\ Left (i \ hbar c \, \ sum_ {\ mu = 0} ^ 3 \; \ gamma ^ \ mu \, \ partial_ \ mu - mc ^ 2 \ right) \ psi = 0,$

или, используя правило Эйнштейна суммирования по индексам, повторяющиеся так:

$\ Left (i \ hbar c \, \ gamma ^ \ mu \, \ partial_ \ mu - mc ^ 2 \ right) \ psi = 0.$

3.1. Объяснение

Часто полезно бывает пользоваться уравнением Дирака в релятивистской-ковариантного форме, в которой пространственные и временные координаты формально равноправны.

Оператор импульса $\ Hat {p}$ действует как пространственная производная:

$\ Mathbf {p} \ psi (\ mathbf {x}, t) = - i \ hbar \ nabla \ psi (\ mathbf {x}, t).$

Умножая уравнения Дирака с каждой стороны на α ₀ (вспоминая что α ₀ ? = I) и подставляя его в определение для $\ Hat {p}$ , Уравнение Дирака принимает вид

$\ Left [i \ hbar c \ left (\ alpha_0 \ frac {\ partial} {c \ partial t} + \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ alpha_0 \ alpha_j \ frac {\ partial} {\ partial x_j} \ right) - mc ^ 2 \ right] \ psi = 0.$

Четыре гамма матрицы определяются как:

$\ Gamma ^ 0 \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ alpha_0 \,, \ quad \ gamma ^ j \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ alpha_0 \ alpha_j.$

Эти матрицы имеют властивись, что

$\ Left \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \ right \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} \ cdot I \,, \ quad \ mu, \ nu = 0, 1, 2, 3$

где η метрика плоского пространства. Эти соотношения определяют алгебру Клиффорд, что называется алгеброй Дирака.

Уравнения Дирака теперь можно записать, используя четыре-вектор x = (ct, x), как

$\ Left (i \ hbar c \, \ sum_ {\ mu = 0} ^ 3 \; \ gamma ^ \ mu \, \ partial_ \ mu - mc ^ 2 \ right) \ psi = 0.$

В этой форме уравнения Дирака можно получить с помощью нахождения экстремума действия

$\ Mathcal {S} = \ int \ bar \ psi (i \ hbar c \, \ sum_ \ mu \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu - mc ^ 2) \ psi \, d ^ 4 x$

где

$\ Bar \ psi \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ psi ^ \ dagger \ gamma_0$

называется присоединенной матрицей Дирака для ψ. Это основа для использования уравнения Дирака в квантовой теории поля.

В этой форме электромагнитное взаимодействие можно просто добавить расширив частную производную к калибровочной производной:

$\ Partial_ \ mu \ rightarrow D_ \ mu = \ partial_ \ mu - ie A_ \ mu.$

3.2. Запись с использованием "Feynman slash"

Иногда используется запись с использованием "перечеркнутых матриц" ("Feynman slash"). Приняв обозначения

$a \! \! \! / \ leftrightarrow \ sum_ \ mu \ gamma ^ \ mu a_ \ mu$ ,

видим, что уравнение Дирака можно записать как

$(I \ hbar c \, \ partial \! \! \! / - Mc ^ 2) \ psi = 0$

и выражение для действия записывается в виде

$\ Mathcal {S} = \ int \ bar \ psi (i \ hbar c \, \ partial \! \! \! / - Mc ^ 2) \ psi \, d ^ 4 x.$

4. Дираковськи Билинейные формы

Есть пять различных (нейтральных) дираковських билинейных форм без производных:

(S) скаляр : $\ Bar {\ psi} \ psi$ (Скаляр, P-парный)
(P) псевдоскаляром : $\ Bar {\ psi} \ gamma ^ 5 \ psi$ (Скаляр, P-нечетный)
(V) Вектор : $\ Bar {\ psi} \ gamma ^ \ mu \ psi$ (Вектор, P-парный)
(A) аксиальный вектор : $\ Bar {\ psi} \ gamma ^ \ mu \ gamma ^ 5 \ psi$ (Вектор, P-нечетный)
(T) тензор : $\ Bar {\ psi} \ sigma ^ {\ mu \ nu} \ psi$ (Антисимметрична тензор)

где $\ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {2} \ left [\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ right] _ {-}$ и .

5. Решения

Характерной особенностью уравнения Дирака является то, что для свободной частицы оно имеет 4 решения, которые интерпретируются как

электрон с спином 1/2;
электрон со спином -1 / 2;
позитрон с спином 1/2;
позитрон со спином -1 / 2;

См.. также

Примечания

Поскольку и форма с альфа-матрицами лоренц-ковариантная, правильнее называть форму с гамма-матрицами просто четырехмерной (а при замене обычных производных на ковариантного она даст загальноковариантний запись уравнения Дирака)