Граница множества Мандельброта является известным примером фрактала

Фрактал (лат. fractus - измельченный, дробный) - нерегулярная, самоподобные структура. В широком понимании фрактал означает фигуру, малые части которой в произвольном увеличении аналогичны нее самой. Срок фрактал ввел 1975 года Бенуа Мандельброт.


1. История

Снежинка Коха является пределом бесконечной конструкции начинается с треугольника и дополняется рекурсивной заменой каждого сегмента набором из четырех сегментов, которые образуют треугольный "выступление". Каждый раз, когда добавляются новые треугольники (при итерации), периметр фигуры возрастает на треть и потому стремится к бесконечности, когда количество итераций стремится к бесконечности. Длина границы снежинки Коха, таким образом, является бесконечной, а ее площадь - конечным.

Объекты, которые теперь называются фракталами, исследовались задолго до того, как им было дано такое название. В етноматематици, например в работах Рона Еглаша "Африканские Фракталы", (ISBN 0-8135-2613-2) задокументировано распространены фрактальные геометрические фигуры в искусстве аборигенов. В 1525 году немецкий художник Альбрехт Дюрер опубликовал свой ​​труд Руководство Художника, одна из глав которой называется "Черепичные шаблоны, созданные Пентагона". Пентагон Дюрера во многом походит на ковер Серпинского, но вместо квадратов используются пятиугольники. Джексон Поллок (американский экспрессионист 50-х лет) рисовал объекты, очень похожие на фракталы.

Идею "рекурсивной самоподобия" была выдвинута философом Лейбницем, который также разработал многие детали этой идеи. В 1872 Карл Веерштрас построил пример функции с неинтуитивною особенностью, везде непрерывной, но нигде недиференцийовнои - график этой функции теперь назывался бы фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох, недоволен слишком абстрактным и аналитическим определением Веерштраса, разработал более геометрическое определение похожей функции, которая теперь называется снежинки Коха. Идею самоподобных кривых было дальше развито Полем Пьером Леви, который в своей работе Кривые и поверхности на плоскости и в пространстве, состоящие из частей, похожих на целое, изданной 1938 года, описал новую фрактальную кривую, известную теперь как Кривая Леви.

Георг Кантор привел примеры подмножеств действительных чисел с необычными свойствами - эти множества Кантора теперь также считаются фракталы. Итерационные функции на комплексной плоскости исследовались в конце 19 и в начале 20 века Анри Пуанкаре, Феликсом Кляйном, Пьером Фату и Гастоном Жюлиа. Однако из-за отсутствия современной компьютерной графики у них хватило средств отразить красоту многих из открытых ими объектов.

В 1960-х годах, Бенуа Мандельброт начал исследования самоподобия в своих работах, например Какова длина побережья Британии? Статистическая самоподобие и дробная размерность. Этот доклад базировалась на ранних работах Луи Фрая Ричардсона. В 1975 году Мандельброт использовал слово фрактал как название для объектов, размерность Хаусдорфа которых больше топологическую размерность. Он проиллюстрировал свое математическое определение захватывающими изображениями, сделанными с помощью компьютера. Эти изображения привлекли большое внимание; многие из них базировались на рекурсии, что привело к появлению распространенного понимания слова фрактал.


2. Примеры

Множество Жюлиа, фрактал, близкий к множеству Мандельброта.
Пример анимированного фрактала.

Сравнительно простой класс примеров составляют множества Кантора, в которых короткие и еще более короткие (открытые) интервалы изымаются из единичного интервала [0, 1], оставляя множество, которое, возможно, будет (или не будет) самоподобной при увеличении и, возможно, будет (или не будет) размерность Хаусдорфа d такую, что 0 <1. Простой пример, такой как изъятие цифры 7 из десятичного представления, является самоподобным при 10-кратном увеличении, имеет размерность Хаусдорфа log 9/log 10 и показывает связь между двумя концепциями. Для сравнения: топологическая размерность произвольной множества Кантора равен 0, поэтому все множества Кантора является фракталами.

Также к примерам фракталов принадлежит фрактал Ляпунова, треугольник Серпинского, ковер Серпинского, губка Менгера, кривая дракона, кривая заполнения пространства, границы множеств групп Клини и кривая Коха. Фракталы могут быть детерминированными или стохастическими (например, недетерминированные).

Хаотические динамические системы иногда ассоциируются с фракталами (см. аттрактор). Объекты в пространстве параметров семьи систем также могут быть фракталами. Интересным примером является множество Мандельброта. Это множество содержит целые диски, поэтому ее размерность Хаусдорфа равна топологической размерности, равной 2, и она формально не является фракталом - но на самом деле удивительно, это то, что размерность Хаусдорфа границы множества Мандельброта также равна 2 (а топологическая размерность равна 1). Это было доказано М. Шишикурою 1991 года.


2.1. Фрактальная размерность границы кривой Коха

Приведенный ниже анализ Снежинки Коха является примером того, как самоподобие может использоваться для анализа свойств фрактала.

Общая длина N малых ступеней L равна произведению NL. При применении к снежинки Коха получаем неопределенное число, когда L стремится к 0. Но такое определение не является удовлетворительным, поскольку разные кривые Коха имеют разные размеры. Выход заключается в том, чтобы измерять ни в метрах (m), ни в квадратных метрах (m 2), но в некотором иной степени метра, m x. Теперь 4 N (L / 3) x = NL x, поскольку три короткий отрезок требует в 4 раза больше отрезков, как это видно из рисунка. Единственным решением этого уравнения является x = (log 4) / (log 3) ≈ 1.26186. Поэтому, единица измерения длины границы снежинки Коха равна примерно m 1.26186.


2.2. Генерирования фракталов

Вся множество Мандельброта.
Та же множество, увеличение 6x.
Та же множество, увеличение 100x.
Та же множество, увеличение 2000x. Даже увеличение в 2000 раз раскрывает детали множества Мандельброта, воспроизводящие все множество.

Три распространенные методы генерирования фракталов:


2.3. Классификация фракталов

Фракталы можно классифицировать в соответствии с их самоподобия. Различают три типа самоподобия в фракталах:

  • Точная самоподобие - Это сильный тип самоподобия; фрактал выглядит одинаково при различных увеличениях. В фракталов, сгенерированных с использованием итерационных функций, часто оказывается точная самоподобия.
  • Почти самоподобие - Слабая форма самоподобия; фрактал выглядит примерно (но не точно) самоподобным при различных увеличениях. Почти самоподобные фракталы содержащих малые копии целого фрактала в искаженных и вырожденных формах. Фракталы, созданные с использованием рекуррентных отношений, обычно почти (но не точно) самоподобными.
  • Статистическая самоподобие - Это слабая форма самоподобия; фрактал имеет многочисленные или статистические меры, хранящихся при увеличении. Приемлемые определение "фракталов" просто содержат в себе некоторый вид статистической самоподобия (размерность фрактала, само по себе, является численным степени, что сохраняется при увеличении). Вероятностные фракталы являются примерами фракталов, которые статистически, но не почти не точно самоподобными.

Следует отметить, что не все самоподобные объекты являются фракталами: например, числовая ось (евклидова прямая) является точно самоподобной, но, поскольку ее размерность хаусдорфовой и топологическая размерность равны единице, она не фракталом.


2.4. Фракталы в природе

Фрактальная папоротник, исчисленная с использованием системы итерационных функций.

Приблизительные фракталы можно легко найти в природе. Эти объекты имеют самоподобной структуру при больших, но ограниченных диапазонах увеличений. В качестве примеров можно назвать облака, снежинки, горы, сети рек, и системы кровеносных сосудов.

Деревья и папоротники являются фрактальными по своей природе и могут моделироваться на компьютерах с использованием рекурсивных алгоритмов. Такое рекурсивнисть ясно видно на таких примерах: ветвь дерева или фронда от папоротника является миниатюрным воспроизведением целого; не идентично, но похоже по природе.

Поверхность гор может моделироваться на компьютере с использованием фракталов: начинать с треугольника в трехмерном пространстве и соединить центральные точки каждого ребра отрезками, получая 4 треугольника. Центральные точки затем сдвигаются вверх или вниз на случайную расстояние в фиксированном диапазоне. Процедура повторяется с уменьшением диапазона на каждой итерации вдвое. Рекурсивная природа алгоритма гарантирует, что целое статистически подобным каждой из деталей.

  • При разрыве двух покрытых клеем листов акрила образуется фрактальный узор.

  • Высоковольтный разряд в 4 "блоке акрила создает фрактальный рисунок Лихтенберга.

  • Фрактальные трещины появляются на DVD диске после обработки микроволновым излучением.

  • Капуста Romanesco broccoli демонстрирует очень мелкие природные фракталы


3. Применение

3.1. Генерация изображений природных объектов

Фрактал, который моделирует поверхность горы (анимация).

Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д.. Алгебраических и стохастические - для построения ландшафтов, поверхности морей моделей биологических и других объектов.


3.2. Механика жидкостей

Фракталами хорошо описываются такие процессы и явления, касающиеся механики жидкостей и газов:

3.3. Биология

3.4. Фрактальные антенны

Фрактальную геометрию для проектирования антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где было запрещено устанавливать внешние антенны на домах. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил ее на лист бумаги, а затем присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.


3.5. Сжатия изображений

С помощью фракталов можно сжимать большие растровые изображения в части их нормальных размеров. Это утверждение вытекает из теоремы Банаха о сжимающие преобразования и является результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.

Кратко метод можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случайные аффинной), т.е. определяется коэффициентами этих преобразований (в нашем случае: A, B, C, D, E и F).

Например, закодировав какое-то изображения двумя аффинного преобразования, мы однозначно определяем его с помощью 12 коэффициентов. Если теперь задать какую-нибудь начальную точку (например, X = 0, Y = 0) и запустить итерационный процесс, то мы после первой итерации получим две точки, после второй - четыре, после третьей - восемь и т. д. Через несколько десятков итераций совокупность полученных точек описывать закодированное изображение. Но проблема заключается в том, что очень трудно найти коэффициенты преобразований, кодировали бы произвольное изображения.

Несмотря на то, что было создано программное обеспечение, реализующее эти алгоритмы (например, библиотеки фрактального сжатия используются в Microsoft Encarta), достаточно эффективного метода не найдено до сих пор, а сам Майкл Барнсли продолжает работать в данном направлении.


3.6. Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного хранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku держит только 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.


См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

4. Источники информации

Литература

  • Фракталы в физике. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. - М. : Мир, 1988. - 672 с.
  • Божокин С. В., Паршин Д. А. фракталы и мультифракталы. - Ижевск: РХД, 2001. - 128 с.
  • Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. - М. : URSS, 2010. - 280 с.
  • Кроновер Р. М. фракталы и хаос в динамических системах. - М. : Техносфера, 2006. - 488 с.
  • Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - Ижевск: ИКИ, 2010. - 656 с.
  • Мандельброт Б. фракталы и хаос. - Ижевск: РХД, 2009. - 400 с.
  • Мандельброт Б. фракталы, случай и финансы. - Ижевск: РХД, 2004. - 256 с.
  • Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. - Ижевск: ИКИ, 2002. - 160 с.
  • Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. - М. : Мир, 1993. - 176 с.
  • Федер Е. фракталы. - М. : Мир, 1991. - 254 с.
  • Шредер М. фракталы, хаос, степенны законы. - Ижевск: РХД, 2005. - 528 с.
  • KJ Falconez Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
  • Ландэ Д.В. фракталы и кластеры в информационном пространстве / / Корпоративные системы 6ь2005. - С. 35-39