Надо Знать

добавить знаний



Четыре арифметических действия



План:


Введение

Арифметические действия являются двухместными операциями на множестве чисел - на входе берут два числа (операнда) и возвращают одно число как результат.

Две действия сложения и умножения являются прямыми действиями, а остальные две действия вычитания и деления являются обратными действиями соответственно.


1. Сложение и умножение

Добавление сказывается всегда знаком + (плюс). В формуле a + b = c операнды a , b называются "слагаемые" (соответственно "первое слагаемое" и "второе слагаемое"), а результат - "сумма".

Умножение может сказываться точкой посередине высоты \ Cdot , Косым крестом \ Times , Звездочкой * , Или в алгебраических формулах с буквенными параметрами и вообще ничем. В формуле a \ cdot b = c операнды называются "множители" или "сомножители" (соответственно "первый множитель" и "второй множитель?), а результат - "произведение".

Сложение и умножение подчиняются таким законам (в скобках ниже приведены латинские названия соответствующих законов):

  • Перестановочных (комутативннисть):
(1) \ qquad a + b = b + a \ qquad \ qquad a \ cdot b = b \ cdot a
  • Соединительный (ассоциативность):
(2) \ qquad (a + b) + c = a + (b + c) \ qquad \ qquad (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)
  • Распределительный (дистрибутивность умножения относительно сложения):
(3) \ qquad a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c

Кроме операций сложения + и умножения \ Cdot в вышеприведенных формулах использованы круглые скобки. Скобки не является операцией, но просто математическими знаками, которыми указывается порядок выполнения двуместных операций. Первыми выполняются те операции, записанные внутри скобок. Для любой формулы подряд записанными двухместными операциями (плюс, минус, умножить, разделить) и желаемым порядком выполнения их можно так расставить скобки станет очевидным, какую операцию по которой надо выполнять. Но при этом количество скобок может быть большой и загромождать формулы. Поэтому математики используют несколько договоренностей о порядке выполнения операций, которые позволяют однозначно интерпретировать формулу, и при этом уменьшить количество скобок.

В правой части последней формулы подразумевается договоренность, что сначала выполняются два умножения a \ cdot b и a \ cdot c , А затем лишь добавление, т.е. приоритет умножения выше приоритет добавление, если этот порядок не изменен расстановкой скобок.

Соединительный закон позволяет записывать сумму S большого количества слагаемых a, b, c ... (Более двух слагаемых) вообще без скобок:

S = a + b + c + \ cdots

Расстановка скобок в этой формуле не изменит результата суммы. То же касается произведения нескольких сомножителей.

Множеством натуральных чисел является число 1 (один) и все числа, которые можно получить додавнням единицы. Например:

\ Qquad 2 = 1 + 1
\ Qquad 3 = 2 + 1 = (1 + 1) + 1
\ Qquad 4 = 3 + 1 = ((1 + 1) + 1) +1
\ Qquad n = (((.. (1 +1) + 1) + ...) + 1 (Число 1 в этой формуле встречается n раз)

Вследствие связующего закона натуральное число n можно записать так:

\ Begin {matrix} \ \ n = \ end {matrix} \ begin {matrix} n \; pa \ mathfrak {3} ib \ \ \ overbrace {1 + 1 + \ cdots + 1} \ end {matrix}

Операция добавления единицы к натуральному числу называется также переходом к навступного натурального числа. Если a = b + 1 , То число a следующего за числом b , А число b называется предварительным для числа a .

Отметим, что таким образом последовательно добавляя к натуральному числу единицу, мы получаем все новое натуральное число, больше всех предыдущих (а потому отличное от всех предыдущих чисел). Множество всех натуральных чисел бесконечно.

Если в математических формулах фигурируют несколько слагаемых, которые можно обозначить одной буквой с индексом (индекс обычно номером слагаемого в сумме) a_1, a_2, ... a_n , То альтернативно сумму этих слагаемых принято обозначать большой греческой буквой "сигма" ( \ Sigma ):

\ Qquad \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = a_1 + a_2 + \ cdots + a_n

Аналогично для произведения используют большое греческую букву "пи":

\ Qquad \ prod_ {i = 1} ^ n a_i = a_1 \ cdot a_2 \ cdot \ cdots \ cdot a_n

Число 1 является нейтральным относительно операции умножения, т.е. произведение любого числа на единицу дает в итоге это же число:

a \ cdot 1 = a

Для умножения на натуральное число n мы можем вывести такую ​​формулу, воспользовавшись распределительным законом:

\ Begin {matrix} \ \ a \ cdot n = a \ cdot (1 + 1 + \ cdots +1) = \ end {matrix} \ begin {matrix} n \; pa \ mathfrak {3} ib \ \ \ overbrace {a + a + \ cdots + a} \ end {matrix}

При фиксированном одном из слагаемых (пусть, например первое слагаемое равно a ), Значение суммы является уникальным для каждого из значений второго слагаемого. То есть если мы имеем два уравнения:

\ Qquad a + b_1 = c
\ Qquad a + b_2 = c

то из них обязательно следует b_1 = b_2 . Это свойство позволяет рассматривать обращенную к добавления операцию. Такая же свойство (за исключением нулевого множителя) касается и операции умножения.


2. Вычитание

Вычитание является действием, обращенной к добавлению. Обозначается знаком - (минус). В формуле a - b = c первый операнд называется "уменьшаемое", второй операнд - "вычитаемое", а результат - "разница".

Если

(4) \ qquad a-b = c

то

(4a) \ qquad a = b + c

(Примечание: вообще говоря, для двухместной операции можно рассматривать две обратные операции: 1. Которая находит второй операнд при фиксированных первом операнде и результата, 2. Которая находит первый операнд по фиксированному вторым операндом и результатом. Вследствие коммутативности сложения эти две операции являются одинаковыми. Для других двуместных операций это не так. Например операция возведения в степень некоммутативных, нельзя переставлять основу и показатель степени. Поэтому операция возведения в степень имеет две обратные операции: корень и логарифм)

Заметим, что по вычитания нет соединительных закона, выражения (A-b)-c и a-(b-c) дают разный результат.

Можно писать формулу из сложения и вычитания без скобок, пользуясь общепринятой договоренности, что эти операции нужно выполнять постепенно, слева направо. Например две формулы эквивалентны:

\ Qquad a - b + c + d - e = (((a-b) + c) + d)-e

Если сначала к числу a добавить число b , А затем вычесть это же число b , То в результате получим число a :

(5) \ qquad (a + b) - b = a

Докажем это. Пусть

\ Qquad (a + b) - b = a_1

С определения операции вычитания (4), (4a) имеем:

\ Qquad (a + b) = b + a_1

или

\ Qquad b + a = b + a_1

С уникальности значений операции сложения получаем: a_1 = a .

На множестве натуральных чисел можно вычитать только от большего числа меньше (т.е. должна быть a> b ). Это свойство можно проиллюстрировать на примере ящика с яблоками - нельзя взять из ящика больше яблок, чем там есть.


3. Отрицательные числа и ноль

Чтобы вычитания можно выполнять всегда, надо расширить понятие числа, введя нуль и отрицательные (цели) числа. Вычитание числа же от себя дает ноль ( a-a = 0 ), А вычитание из меньшего числа большего дает в результате отрицательное число. Целые числа можно проиллюстрировать отношениями банка (бесконечно большого и с нулевыми процентами, таких банков в действительности не существует) с клиентом. Клиент всегда может класть деньги в банк, или брать деньги. Положительный остаток на счете клиента является депозитом, отрицательный - долгом, а нулевой - когда никто никому не должен.


4. Единственность нуля

Докажем единственность нуля приняв, что свойства операции сложения сохраняются при распространении на область отрицательных чисел и нуля. Пусть при вычитании какого числа b же от себя мы получили особый ноль:

\ Qquad b - b = 0_b

Тогда

\ Qquad b = 0_b + b

Добавим к числу a и затем вычтем число b :

\ Qquad a = (a + b) - b = (a + (0_b + b)) - b = ((a +0 _b) + b) - b = a + 0_b

Так и для другого нуля 0_c = c - c есть

\ Qquad a = a + 0_c

то из уникальности результата сложения получается, что все нули совпадают: 0_b = 0_c = 0

Ноль является нейтральным элементом относительно операции сложения:

(6) \ qquad a = a + 0

В последней формуле мы можем выразить первое слагаемое через операцию вычитания (от результата вычесть второе слагаемое, то есть ноль):

(6a) \ qquad a = a - 0

Таким образом, нуль является нейтральным элементом также по вычитания.

Поэтому в математических формулах, где фигурируют несколько слагаемых (некоторые из них могут быть взяты в скобки выражения), можно опускать нулевые слагаемые, таким образом упрощая формулу.


5. Унарный минус и противоположные числа

Результат вычитания числа a от нуля сказывается -A и называется числом, противоположным a :

(7) \ qquad-a = 0 - a

Знак минус в обозначении противоположного числа имеет только один операнд (число a ) И поэтому является одноместной операцией. Эта операция взятия противоположного числа называется унарный минус.

Иногда (для симметрии) используют также унарный плюс, который вообще является пустой операцией (тождественным преобразованием):

\ Qquad + a = a

Например, унарный плюс (наряду с унарный минус) используют при обозначении температуры: +10 ? C, -8 ? C.

Поскольку из формулы (7) следует, что

(8) \ qquad a + (-a) = 0

то замечаем, что в формуле (8) числа a и -A входят симметричным образом. Так и наоборот, число a противоположно своего противоположного -A :

(9) \ qquad a = - (-a) = + a

(Примечание: последнее равенство неформально можно читать так: "минус на минус дает плюс")

Числа, противоположные натуральным числам, называются отрицательными целыми числами и обозначаются унарный минус и цифр, например: -2, -15 (читается "минус два", "минус пятнадцать").

Используя унарный минус, мы можем записать операцию вычитания через добавление противоположного числа, как это следует из следующего цепочки равенств:

(10) \ qquad a - b = (a + 0) - b = (a + ((-b) + b)) - b = ((a + (-b)) + b - b = a + (- b)

Формулу, в которой встречаются только сложение и вычитание, можно представить в виде суммы (положительных и соответственно отрицательное слагаемых):

\ Qquad ((a + b) - c) + d = a + b + (-c) + d

6. Раскрытие скобок с унарный минус

Пусть имеем число c , Обратное сумме двух чисел a и b :

\ Qquad c = - (a + b)

тогда

\ Qquad a + b + c = (a + b) + c = (a + b) + (- (a + b)) = 0

Добавим к последней равенства сначала -A , А затем -B :

\ Qquad b + c + a + (-a) = b + c = 0 + (-a) =-a
\ Qquad c + b + (-b) = c = (-a) + (-b)
\ Qquad c = (-a) + (-b) =-a ​​- b
\ Qquad (11) \ qquad - (a + b) =-a ​​- b

Пользуясь формулой (10) для вычитания, найдем обратное число к разнице:

\ Qquad - (a - b) = - (a + (-b)) = (-a) + (- (- (b))) = (-a) + b = b + (-a) = b - a

Об этом свойстве можно говорить, что операция вычитания является антикомутативною (при перестановке операндов мы получаем противоположный результат) в отличие от коммутативной добавления.

Пусть теперь имеем выражение, в котором осуществляются несколько операций добавлений и виднимань, например:

\ Qquad S = a + b - c - d + e

Найдем противоположный выражение, по очереди (начиная с последнего слагаемого) раскрывая скобки по формуле (11):

\ Qquad-S = - (a + b - c - d + e) ​​= - ((((a + b)-c)-d) + e) ​​= - (((a + b)-c)-d ) + (-e) = - ((a + b)-c) + d + (-e) = \ cdots = (-a) + (-b) + c + d + (-e) =-a ​​- b + c + d - e

Так из последнего примера мы можем сформулировать правило: обратное число от выражения, в котором есть только операции сложения и вычитания, образуется заменой всех знаков плюс на минус, и знаков минус на плюс.


7. Умножение на ноль

Воспользуемся распределительным законом умножения и властивитю нуля (6):

\ Qquad a \ cdot b = a \ cdot (b + 0) = a \ cdot b + a \ cdot 0

С другой стороны,

\ Qquad a \ cdot b = a \ cdot b + 0

С уникальности результата операции сложения, из двух последних формул имеем, что умножение любого числа a на ноль дает в результате ноль:

(12) \ qquad a \ cdot 0 = 0

Этот результат можно распространить на произведение нескольких множителей. Пусть среди сомножителей a_1, a_2, ... a_n есть ноль (например a_k = 0 для какого-то индекса k , 1 \ le k \ le n ), Тогда:

\ Qquad \ prod_ {i = 1} ^ n a_i = a_1 \ cdot a_2 \ cdot \ cdots \ cdot a_n = 0

Справедливое и обратное утверждение: если произведение нескольких множителей равен нулю, то обязательно среди этих множителей найдется нулевой (равной нулю). Есть произведение ненулевых чисел равна нулю (отсутствие делителей нуля).


8. Умножение отрицательных чисел

А можно и наоборот, добавлять нулевой слагаемое. Например, докажем существование распределительного закона умножения относительно вычитания. Обозначим буквой c разность чисел a и b ( a-b = c ). Тогда для произвольного числа x :

\ Qquad x \ cdot (ab) = x \ cdot c = x \ cdot c + 0 = x \ cdot c + (x \ cdot b - x \ cdot b) = (x \ cdot c + x \ cdot b) - x \ cdot b = x \ cdot (c + b) - x \ cdot b = x \ cdot a - x \ cdot b

9. Деление

Деление является действием, обращенной к умножению. Может обозначаться двоеточием : , Или косой чертой / . В формуле a / b = c первый операнд называется "делимое", второй операнд - "делитель", а результат - "доля". Принято говорить, что доля является результатом деления делимого на делитель.

Оборачиваемость до умножения означает, что делимое a является произведением делителя b и доли c . То есть если:

(13) \ qquad a / b = c

то

(13a) \ qquad a = b \ cdot c

Эта пара формул для деления и умножения полностью аналогична формулам (4) и (4a) для вычитания и сложения, включая примечания. Но кроме аналогии с вычитанием, деление имеет и свою специфику.

Во-первых, делить на ноль нельзя. Действительно, если делитель b равна нулю, то из формул (13a) и (12) следует, что делимое a тоже должна быть нулем, а доля c может быть любым числом. То есть деление нуля на нуль является неоднозначным, а деление ненулевого числа на ноль вообще нельзя выразить числом - недопустимая операция.

Во-вторых, далеко не всегда при делении целых чисел можно получить целое число. Эта проблема имеет три последствия:

  • результат деления является более общим видом числа - дробью. Дроби вместе с целыми числами образуют

множество рациональных чисел, где деление на ненулевое число всегда выполняется.

  • можно рассматривать несколько измененную операцию - деление с остатком.
  • можно рассматривать делимость одного целого числа на другое как признак (делится / не делится нацело).

Поскольку единица является нейтральным относительно умножения, то из формул (13), (13a) следует, что и деление на единицу оставляет число неизменным:

\ Qquad a / 1 = a

Если же мы напротив, единицу разделим на число a , То получим так называемое "обратное" число, которое обозначается в виде степени с показателем "минус единица":

\ Qquad a ^ {-1} = 1 / a

Очевидно, что умножение числа на свое обращенное дает в результате единицу:

\ Qquad a \ cdot a ^ {-1} = 1

По аналогии с противоположными числами, число обращено к обратной совпадает с самим числом a :

\ Qquad \ left (a ^ {-1} \ right) ^ {-1} = a

См.. также


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам