Эллипс

Эллипс с фокусами

Эллипс в геометрии - линия второго порядка.

Термин происходит от греч. ἔλλειψις - Недостаток, пробел, выпадения (подразумевается "неполнота" или "дефектность" эллипсу сравнению с "полным" кругом или кругом).

1. Аналитическое определение

Эллипс в прямоугольной системе координат

Эллипсом называют линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением:

$\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1$

Эллипс относится к кривых второго порядка.

2. Определяющая свойство эллипса

Точки $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ называют фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокусным расстоянием, ее обозначают через $\ Boldsymbol {2c}$ , Следовательно, $\ Left | F_1 F_2 \ right | = 2c$ . Сумму расстояний от любой точки $\ Left. M \ right.$ эллипса до фокусов $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ обозначим $\ Boldsymbol {2a}$ . Тогда по определению имеем: $\ Left. 2a> 2c, \; a> c \ right.$ . Отсюда можно сказать, что эллипс состоит из таких и только таких точек $\ Left. M \ right.$ , Которые удовлетворяют условию: $\ Left | F_1 M \ right | + \ left | F_2 M \ right | = 2a$

3. Геометрическое определение

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ этой плоскости есть величина постоянная, больше расстояние между $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ .

4. Элементы эллипса

4.1. Вершины эллипса

Точки $A, \; A_1, \; B, \; B_1$ пересечения эллипса с осями прямоугольной системы координат, выбранной так, чтобы начало координат был серединой отрезка $\ Left | F_1 F_2 \ right |$ , А ось $\ Left. Ox \ right.$ совпадала с прямой $\ Left (F_1 F_2 \ right)$ , Называют вершинами эллипса.

4.2. Оси эллипса

Отрезок $\ Left | A A_1 \ right | = 2a$ , Проходящая через оба фокусы $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ , Называют большой осью эллипса, а перпендикулярно ему отрезок $\ Left | B B_1 \ right | = 2b$ , Пересекающийся с большой осью в центре эллипса $\ Left. O \ right.$ - Соответственно его малой осью. Длина этих отрезков соответствует условию $\ Left. a ^ 2 - b 2 = c ^ 2 \ right.$ . Эллипс симметричен относительно своих осей и центра.

4.3. Директриса и эксцентриситет

Число $e = {c \ over a}$ это эксцентриситет эллипса, величина, характеризующая его вытянутость, для эллипсу $\ Boldsymbol {e} <1$ . Прямые, уравнение $x = - {a \ over e} \ quad \ mbox {i} \ quad x = {a \ over e}$ называются Директриса эллипса, соотношение расстояния от любой точки эллипса до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянное и равно эксцентриситета.

Заметим, что величинами, которые характеризуют эллипс, есть большая и малая полуоси $\ Boldsymbol {a}$ и $\ Boldsymbol {b}$ , Расстояние $\ Boldsymbol {c}$ фокуса от центра, эксцентриситет $\ Boldsymbol {e}$ . Зависимость между ними выражается формулами: $a 2 = b ^ 2 + c ^ 2, \; e = {c \ over a}$ . Поэтому, чтобы составить уравнение эллипса, достаточно знать или полуоси $\ Left. a \ right.$ и $\ Left. b \ right.$ , Или одну полуось и эксцентриситет и т.д.

Если точки $\ Left. F_1 \ right.$ и $\ Left. F_2 \ right.$ совпадают, то эллипс становится кругом радиуса $\ Left. a \ right.$ . При этом $\ Left.a = b, \; e = 0 \ right.$ . Итак, круг является частным случаем эллипса.

5. Различные виды уравнений эллипса

Эллипс в полярной системе координат.

5.1. Каноническое уравнение эллипса

$\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1$

5.2. Параметрическое уравнение эллипса

$\ Left \ {\ begin {matrix} x = a \ cos \ alpha \ \ y = b \ sin \ alpha \ end {matrix} \ right.$

5.3. Нормальное уравнение эллипса

$\ Frac {(x-x_0) ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {(y-y_0) ^ 2} {b ^ 2} = 1$

6. Длина дуги эллипса

Длина дуги эллипса вычисляется по формуле:

$l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dy} {dt} \ right) ^ 2} \, dt.$

Использовав параметрический запись эллипса получаем следующее выражение:

$l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {a ^ 2 \ sin ^ 2 t + b ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt.$

После замены $b 2 = a ^ 2 \ left (1 - e ^ 2 \ right)$ выражение длины дуги принимает окончательный вид:

$l = a \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt, \; \; \; e <1.$

Полученный интеграл принадлежит к семейству эллиптических интегралов, которые не выражаются в элементарных функциях, и сводится к эллиптического интеграла второго рода $E \ left (t, e \ right)$ . В частности, периметр эллипса равна:

$l = 4a \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt = 4aE (e)$ ,

где $E \ left (e \ right)$ - Полный эллиптический интеграл Лежандра второго рода.

6.1. Приближенные формулы периметра

YNOT: $L = 4 \ cdot \ left (a ^ x + b ^ x \ right) ^ \ left (1 / x \ right)$ , Где $x = \ frac {ln2} {ln (\ frac {\ pi} {2})}$ Максимальная погрешность этой формулы составляет близка 0,3619% при эксцентриситете эллипса 0,979811 (отношение осей ~ 1/5). Погрешность всегда положительна.